ریاضیات مقدماتی و تخصصی

بسم الله الرحمن الرحیم

بیش از 5 سال از افتتاح وبلاگ ریاضیات مقدماتی و تخصصی گذشت و به لطف خدای متعال توانست کم کم جای پای خود را در میان وبلاگ ها و وب سایت های ریاضی باز کند به طوری که هم اکنون یکی از پربازدید ترین وبلاگ ها و وب سایت های ریاضی فارسی زبان است.
با این توصیف، وقت ارتباط بیشتر و گسترده تر با اساتید، دانش جویان و دانش آموزان عزیز فرا رسیده است، آن هم با افتتاح پایگاهی که محدودیت های وبلاگ را نداشته باشد.
پایگاه به طور رسمی افتتاح شده است تا بازدید کنندگان عزیز از امکانات گسترده ی آن استفاده فرمایند. به لطف خدا امکاناتی که در این پایگاه در اختیار بازدید کنندگان عزیز گذاشته شده است، در کمتر پایگاهی دیده می شود. اگر عمری باقی باشد و توفیقی حاصل شود، امکانات بیشتر و پیشرفته تری نیز در راه است که در قسمت اطلاع رسانی سایت - که در اول هر صفحه مشاهده می فرمایید - به اطلاع کاربران خواهد رسید.
از اساتید و معلمین عزیز ریاضی و نیز دانش جویان و دانش آموزان محترم، عاجزانه تقاضا دارم که نقاط ضعف را در همان پایگاه به این حقیر تذکر دهند.
و در آخر دعا کنید که شرمنده ی کاربران محترم نشوم و تا حد امکانات و توانم, در خدمتشان باشم.

برای ورود به پایگاه این حا را کلیک کنید.
ورود به انجمن ریاضیات مقدماتی و تخصصی

موفق و پیروز باشید.

مهدی مفیدی احمدی

29 اسفند 1389

+ نوشته شده در پنجشنبه بیست و هشتم آبان ۱۳۸۸ ساعت ۷:۱۲ ق.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی

پایگاه ریاضیات مقدماتی و تخصصی

بسم الله الرحمن الرحیم

بیش از 5 سال از افتتاح وبلاگ ریاضیات مقدماتی و تخصصی گذشت و به لطف خدای متعال توانست کم کم جای پای خود را در میان وبلاگ ها و وب سایت های ریاضی باز کند به طوری که هم اکنون یکی از پربازدید ترین وبلاگ ها و وب سایت های ریاضی فارسی زبان است.
با این توصیف، وقت ارتباط بیشتر و گسترده تر با اساتید، دانش جویان و دانش آموزان عزیز فرا رسیده است، آن هم با افتتاح پایگاهی که محدودیت های وبلاگ را نداشته باشد.
پایگاه به طور رسمی افتتاح شده است تا بازدید کنندگان عزیز از امکانات گسترده ی آن استفاده فرمایند. به لطف خدا امکاناتی که در این پایگاه در اختیار بازدید کنندگان عزیز گذاشته شده است، در کمتر پایگاهی دیده می شود. اگر عمری باقی باشد و توفیقی حاصل شود، امکانات بیشتر و پیشرفته تری نیز در راه است که در قسمت اطلاع رسانی سایت - که در اول هر صفحه مشاهده می فرمایید - به اطلاع کاربران خواهد رسید.
از اساتید و معلمین عزیز ریاضی و نیز دانش جویان و دانش آموزان محترم، عاجزانه تقاضا دارم که نقاط ضعف را در همان پایگاه به این حقیر تذکر دهند.
و در آخر دعا کنید که شرمنده ی کاربران محترم نشوم و تا حد امکانات و توانم, در خدمتشان باشم.

ورود به پایگاه این حا را کلیک کنید.

موفق و پیروز باشید.

مهدی مفیدی احمدی

29 اسفند 1389

+ نوشته شده در پنجشنبه بیست و هشتم آبان ۱۳۸۸ ساعت ۷:۱۰ ق.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی | 6 نظر

فهرست مطالب

بسم الله الرحمن الرحیم

و عجل اللهم فی فرج مولانا صاحب العصر و الزمان و انصر قائدنا

توضیحاتی پیرامون وبلاگ و چند تقاضا از بازدید کنندگان محترم:

بازدید کنندگان عزیز نظرات، پیشنهادات و انتقادات خود را صریحاً در اینجا بیان فرمایید و خواهشمندم فقط به مطالعه ی مطالب این وبلاگ بسنده نکنید؛ قبل از ورود به هر بخش، لطفاْ توضیحات مربوط به هر بخش را مطالعه فرمایید تا راحت تر به مطلب مورد نظر خود دسترسی پیدا کنید.
قبل از ورود به هر بخش، لطفاْ توضیحات مربوط به هر بخش را مطالعه فرمایید تا راحت تر به مطلب مورد نظر خود دسترسی پیدا کنید.
برای ورود به هر بخش، روی نام هر بخش کلیک کنید.

فهرست مطالب

1	نمونه سوالات امتحانی دبیرستان پیش دانشگاهی لینک کمکی	در این بخش، نمونه سوالات امتحانی دبیرستان و پیش دانشگاهی را برای استفاده دانش آموزان محترم درج خواهیم کرد. از بازدید کنندگان عزیز خواهشمندم در تکمیل این قسمت به این حقیر یاری رسانند. اگر نمونه سوال مناسبی در اختیار دارید با تایپ یا اسکن آن و ارسال سوال به بنده، این قسمت را کاملتر فرمایید تا به نام خودتان در این قسمت درج شود.
2	نمونه سوالات امتحانی دانشگاه لینک کمکی	در این بخش، نمونه سوالات امتحانی دروس مختلف ریاضی را که مخصوص دانشجویان محترم رشته های علوم پایه و مهندسی است، خواهید دید.
3	نمونه سوالات دکتری ریاضی دانشگاههای مختلف لینک کمکی	در این قسمت، نمونه سوالات دکتری ریاضی را برای داوطلبین شرکت در امتحانات دکتری ریاضی ارائه خواهیم کرد. توجه: لینک ها تصحیح شدند.
4	تاریخ ریاضیات و زندگینامه ریاضیدانان مشهور	آشنایی با تاریخ ریاضی و زندگی ریاضیدانان برای دانش آموزان و دانشجویان ریاضی از اهمیت بسیاری برخوردار است زیرا برای آنها جایگاه رفیع ریاضیات را به ویژه در جهان کنونی مشخص می کند. در این بخش، ابتدا خلاصه ای از تاریخ ریاضیات را از ابتدای تاریخ تا اواسط قرن بیستم مطالعه و سپس در جدولی بزرگ - که ظاهرا برای اولین بار در کشور طراحی شده است - تاریخ ریاضیات را از ابتدا تاکنون مرور خواهیم کرد. گردآوری مطالب این جدول به وسیله دانشجویان اینجانب در مرکز تربیت معلم الزهرا ء زنجان انجام شده است. در قسمت سوم به زندگینامه ریاضیدانان یونانی، هندی، مسلمان، اروپایی و ریاضیدانان قرون نوزده و بیست میلادی به ترتیب زمانی زندگی آنها خواهیم پرداخت.
5	مقاله های ریاضی - نکات ریاضی	این بخش مخصوص اساتید و دانشجویان محترم ریاضی است. بخش اول حاوی مقالات ریاضی داخلی و خارجی است. این مقالات - با فرمت pdf - در فضای ویژه ای آپلود شده است و علاقمندان محترم می توانند به طور کامل این مقالات را دانلود و از آنها استفاده کنند. توضیح مختصری از هر مقاله را نیز در کنار پیوند آن خواهیم آورد. بخش دوم مخصوص نکته های ریاضی است که معمولاْ هر دانشجوی ریاضی برای درک عمیقتر مطالب درسی به آن نیازمند است. از این نکات، می توان در سر کلاس، هنگام تدریس یا برای سخنرانیهای دانشجویی استفاده کرد.
6	کتابخانه ی الکترونیکی ریاضی	در این قسمت می توانید کتابهای ریاضی را - که البته بیشتر به زبان انگلیسی هستند - دانلود کنید. توضیح مختصری از بعضی از کتاب ها را نیز خواهید دید. توجه: لینک ها تصحیح شدند.
7	پایگاههای ریاضی	این بخش پایگاههای ریاضی به زبانهای فارسی و انگلیسی را برای استفاده دانش آموزان و دانشجویان محترم معرفی خواهد کرد. فقط کافیست روی توضیح پایگاه کلیک کنید.
8	آموزش میپل	در این قسمت و فعلاً در دوازده جلسه، در حد بضاعت علمی، به آموزش میپل - یکی از چند نرم افزار مشهور و قوی ریاضی - خواهیم پرداخت. ضمناً دو لینک هم برای دانلود نرم افزار میپل معرفی شده است. توجه: سایت جدید زیر برای آموزش میپل افتتاح شد: http://epmath.99k.org/Education/Maple.htm ۲۲ آبان ۱۳۸۸
9	تستهای ریاضی کنکور سراسری و کارشناسی ارشد	در وضعیت کنونی کنکور، آشنایی با تستهای مختلف، به ابزاری لازم - اما نه کافی - برای قبولی در امتحانات ورودی دانشگاه، تبدیل شده است. تست زدن برای سنجش میزان معلومات، تشخیص نقاط ضعف و اندازه گیری سرعت عمل توصیه می شود. اما اگر تست جای آموزش را بگیرد، خسارتهای جبران ناپذیری به بار خواهد آورد که در جای خود مفصلا در اینباره صحبت خواهیم کرد. در این قسمت سعی می کنیم، تستهای معتبر سازمان سنجش آموزش کشور را در سطح کارشناسی و کارشناسی ارشد و نیز تستهای دسته بندی شده مناسب دیگر را در اختیار دانش آموزان و دانشجویان گرامی قرار دهیم. تستهای قابل استفاده در وبلاگ تستهای مثلثات،لگاریتم، تصاعد،حسابان و دیفرانسیل و انتگرال کنکورهای سراسری آزمون سراسری سال ۸۴ رشته های ریاضی، تجربی و انسانی آزمون سراسری کارشناسی ارشد ریاضی سال 83 و 84
10	آموزش حسابان سوم دبیرستان (رشته ی ریاضی)	در این قسمت در حد توان، به آموزش حسابان می پردازیم. سعیمان براین است که نکات کلیدی هر درس همراه با مسائل متنوع مربوط به آن (از جمله حل نمونه مسائل کتاب)، حل مسائل امتحانی خرداد و گاهی نیز تستهای کنکور برای تمرین بیشتر ارائه شود.
11	بخش مساله	حل مساله، دوای درد بسیاری از دانش آموزان و دانشجویان است. متاسفانه نظام آموزشی کشور، در این زمینه ضعفهای بسیاری دارد. دانش آموز و دانشجویی که عادت به حل مسا له دارد و طریقه درست آنرا می داند، به وضوح از دیگران یک سرو گردن بالاتر است. به نظر حقیر هر سایت ریاضی که هدف آن آموزش ریاضییات است، لزوماْ باید به مسائل ریاضی و حل آنها در سطوح مختلف بپردازد و لذا در این قسمت، به حل و بحث مسائل خوب دبیرستانی و دانشگاهی و نیز المپیادهای ریاضی کشوری و جهانی خواهیم پرداخت.
12	مقالات آموزش ریاضی و نظرات صاحب نظران	در این بخش، مقالاتی پیرامون تدریس ریاضیات و نیز نظرات صاحب نظران، درباره ی علم ریاضی و آموزش آن را مطالعه خواهید فرمود. در این قسمت به مشکلات آمورش ریاضی در ایران نیز خواهیم پرداخت. ضمناْ با ارائه مقالاتی سعی می کنیم به سوالات دانشجویان ریاضی درباره جایگاه ریاضیات محض و کاربردی و اهمیت آنها در جهان کنونی پاسخ دهیم. لازم است تذکر داده شود که مطالب عنوان شده در این بخش، نظر شخصی مولف مقاله است، نه نظر حتمی اینجانب.
13	اتاق گفتگوی ریاضی پاسخ به سوالات ریاضی دانش آموزان و دانشجویان	در این اتاق به گفتگو درباره ی ریاضیات و رفع اشکالات احتمالی دانش آموزان و دانشجویان می پردازیم.
14	حل مسائل انتخابی کتابهای مشهور ریاضی دانشگاه	در این بخش به حل و بحث بعضی از مسائل کتابهای مشهور ریاضی خواهیم پرداخت که معمولا در دانشگاهها در سطح کارشناسی و کارشناسی ارشد تدریس میشوند .
15	دایرة المعارف کوچک ریاضی	در این بخش،موضوعات ریاضی را به صورت الفبایی تقدیم علاقمندان ریاضی خواهیم کرد. برای تنظیم این قسمت از دایرة المعارفهای آنلاین و معتبر استفاده شده است. روی موضوع مورد نظر کلیک کنید و توضیحات تخصصی مربوط به آن را مطالعه فرمایید.
16	گپی خصوصی با دانش آموزان و دانش جویان درباره ی ریاضیات	در این بخش، گفتگوی این حقیر را که در مرداد سال 86 با دانش آموزان و دانش جویانِ کاربر یکی از سایت ها ی پربازدید کشور صورت گرفت، مطالعه خواهید فرمود. این گفتمان به مدت 1 هفته ادامه داشت و در آن موضوعات بسیاری حتی خارج از ریاضیات مطرح شد که فکر می کنم برای همگان مفید است. در ضمن این مطالب نظرات شخصی این حقیر پیرامون مطالب مطرح شده در این گفتگو است.
17	لطیفه ها، داستان ها و سخنان حکمت آمیز	این بخش مهم را در به اساتید، دبیران محترم ریاضی و نیز دانش جویان ریاضی مراکز تربیت معلم تقدیم می کنیم. قطعاْ یک مدرس ریاضی باید به این هنرها نیز مجهز باشد.
18	افتتاح سایت ریاضیات مقدماتی و تخصصی	انشاءالله تا آخر سال ۸۸ نمونه ای از امکانات سایت http://epmath.99k.org/index.htm
19	وبلاگ دیگری از این حقیر با موضوعاتی دیگر!!	http://sph-papers.blogfa.com

ویژه ی دانش آموزان و دانش جویان استان زنجان

ورود دانش آموزان دبیرستان استاد شهریار زنجان-درس حسابان
ورود دانش جویان مرکز تربیت معلم الزهراء زنجان - درس کاربرد نرم افزار
ورود دانش جویان مرکز تربیت معلم شهید بهشتی زنجان-درس ریاضی عمومی 1و 2

+ نوشته شده در شنبه هجدهم مهر ۱۳۸۸ ساعت ۷:۲۸ ب.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی | نظرات

ویژه ی دانش جویان مرکز تربیت معلم الزهراء زنجان - درس کاربرد نرم افزار

بسم الله الرحمن الرحیم

با سلام و آرزوی موفقیت برای همکاران گرامی

تمرینات گروه ها:

هفته ی اول

جمعه ۱۷ مهر ۱۳۸۸

دو تذکر:

همکاران محترم، حل کامل تمرینات زیر را حداکثر تا پنج شنبه ۲۳ مهر ۱۳۸۸به بنده تحویل دهید.
اگر مشکلی پیش آمد، در اینجا به بنده اطلاع دهید. با تشکر

گروه ۱: تمرین دوم از درس evalf-subs بخش تمرینات بیشتر. (اگر فایل درس را در اختیار ندارید می توانید به این لینک مراجعه فرمایید.)

گروه ۲: تمرین سوم از درس evalf-subs بخش تمرینات بیشتر. (اگر فایل درس را در اختیار ندارید می توانید به این لینک مراجعه فرمایید.)

گروه ۳: تمرین چهارم از درس evalf-subs بخش تمرینات بیشتر. (اگر فایل درس را در اختیار ندارید می توانید به این لینک مراجعه فرمایید.)

گروه ۴: تمرین پنجم از درس evalf-subs بخش تمرینات بیشتر. (اگر فایل درس را در اختیار ندارید می توانید به این لینک مراجعه فرمایید.)

گروه ۵: تمرین اول از درس important maple's functions بخش تمرینات بیشتر. (اگر فایل درس را در اختیار ندارید می توانید به این لینک مراجعه فرمایید.)

هفته ی دوم

جمعه ۲4 مهر ۱۳۸۸

دو تذکر:

همکاران محترم، حل کامل تمرینات زیر را حداکثر تا پنج شنبه ۳۰ مهر ۱۳۸۸به بنده تحویل دهید.
اگر مشکلی پیش آمد، در اینجا به بنده اطلاع دهید. با تشکر

همه ی گروه ها مساله ی زیر را حل کنند:

مساله:

با میپل، چند جمله ای های زیر را به طور کامل - یعنی به حاصل ضرب عوامل خطی - تجزیه کنید(دقت کنید که باید بعضی از ریشه های حقیقی یا مختلط آن ها را بدانید):

$\\2x^3-5x+3\\ x^3+x-2\\ x^4+x^3+x^2+x+1\\ x^5-1$

حل تمرین

هفته ی سوم

جمعه ۱ آبان ۱۳۸۸

دو تذکر:

همکاران محترم، حل کامل تمرینات زیر را حداکثر تا پنج شنبه ۷ آبان ۱۳۸۸به بنده تحویل دهید.
اگر مشکلی پیش آمد، در اینجا به بنده اطلاع دهید. با تشکر

همه ی گروه ها تمامی تمرینات در قسمت تمرینات بیشتر از درس functions را حل کنند - جز دو تمرین آخر. (اگر فایل درس را در اختیار ندارید می توانید به این لینک مراجعه فرمایید.)

هفته ی چهارم

جمعه ۱۵ آبان ۱۳۸۸

دو تذکر:

همکاران محترم، حل کامل تمرینات زیر را حداکثر تا پنج شنبه ۲۱ آبان ۱۳۸۸به بنده تحویل دهید.
اگر مشکلی پیش آمد، در اینجا به بنده اطلاع دهید. با تشکر

تمامی گروه ها تمرینات زیر را حل کنند:

۱- سعی کنید فقط با استفاده از مختصات دکارتی،بدون استفاده از دستورهای پارامتری و قطبی، یک دایره را با میپل رسم کنید.

2- تمرین 3 از تمرینات بیشتر از فایل plot2d را حل کنید.

3- تابع زیر را به میپل معرفی و آن را رسم کنید:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} -x & x<0\\ sin(x) &0\leq x\leq \pi \\ 0& x> \pi \end{matrix}\right.$

4- فرض کنید a=4 و b=2.1. تعریف کنید:

$\150dpi \left\{\begin{matrix} x=\left( a-b \right) \cos \left( t \right) +b\cos \left( {\frac { \left( a-b \right) t}{b}} \right)\\ y=\left( a-b \right) \sin \left( t \right) -b\sin \left( {\frac { \left( a-b \right) t}{b}} \right) \end{matrix}\right.$

حال $\sqrt{x^2+y^2}$ را در مختصات قطبی و در بازه ی $[-30\pi,\,30\pi]$ رسم کنید.

موفق و پیروز باشید.

+ نوشته شده در جمعه هفدهم مهر ۱۳۸۸ ساعت ۷:۳۰ ب.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی

ویژه ی دانش آموزان دبیرستان استاد شهریار زنجان - درس حسابان

بسم الله الرحمن الرحیم

با سلام و آرزوی موفقیت

مسائل گروه ها:

هفته ی اول

جمعه ۱۰ مهر ۱۳۸۸

گروه ۱: همه ی جواب های معادله ی زیر را به دست آورید:

گروه ۲: نامعادله ی زیر را حل کنید:

گروه ۳: نامعادله ی زیر را حل کنید:

$\left | x-1 \right |\left | x \right |+ x+1 \leq 3$

گروه 4: بازه ی $[a,b]$ را به سه قسمت مساوی تقسیم می کنیم و نقاطی که این پاره خط را به سه قسمت مساوی تقسیم می کنند x و y می نامیم. x و y را بر حسب a و b بنویسید.

گروه 5: نامعادله ی زیر را حل کنید:

$\left | \frac{x-1}{x+1} \right | \leq 3$

گروه 6: نامعادله ی زیر را حل کنید:

$\left | \frac{x-1}{x+1} \right | \geq 3$

هفته ی دوم

جمعه ۱۷ مهر ۱۳۸۸

گروه 1: اگر $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$ ثابت کنید $f(f(f(x)))\cdot f(x)=-1$ .

گروه 2: اگر تابع f در شرط $f\left ( \frac{x}{x+1} \right )=x^2$ صدق کند، (f(x را بیابید.

گروه ۳: اگر $f(x)=ax^2+bx+c$ ثابت کنید

. $f(x+3)-3f(x+2)+3f(x+1)=f(x)$

گروه ۴: فرض کنید دنباله ی $\left \{ x_n \right \}$ تصاعد حسابی باشد. ثابت کنید که اگر $f(x)=ax+b$ ، آن گاه دنباله ی $\left \{ f(x_n)\right \}$ نیز یک تصاعد حسابی است.

گروه ۵: فرض کنید دنباله ی $\left \{ x_n \right \}$ تصاعد هندسی باشد. ثابت کنید که اگر $f(x)=a^x$ (a عددی مثبت و مخالف1 است)، آن گاه دنباله ی $\left \{ f(x_n)\right \}$ نیز یک تصاعد هندسی است.

گروه 6: اگر $f(x)=\frac{1}{2}\left ( a^x+a^{-x} \right )$ (a عددی مثبت و مخالف1 است)، ثابت کنید

. $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$

هفته ی سوم

جمعه ۲۴ مهر ۱۳۸۸

گروه 1: اگر $f(x)=ax+b$ ، آن گاه $\cdots ,f(f(f(f(x)))),f(f(f(x))),f(f(x))$ را محاسبه کنید. اگر n بار این کار را انجام دهیم، فرمول دقیق را به دست آورید.

گروه 2: مساله ی گروه 1 را با تابع زیر انجام دهید:

$f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

گروه 3: فرض کنید

. $f(x+\frac{1}{x})=x^3+\frac{1}{x^3},\,\,\,g(x+\frac{1}{x})=x^4+\frac{1}{x^4}$

ضابطه ی دو تابع f و g را به طور صریح بیابید.

گروه ۴: اگر $f(x)=x^2+2x+2$ ، آن گاه دو تابع g چنان بیابید که داشته باشیم

. $f(g(x))=x^2-4x+5$

گروه 5: اگر $f(x)=log(x+\sqrt{x^2-1})$ ، ثابت کنید

$\begin{align*} f(2x^2-1) &=2f(x)\,\,\,(x>0) \\ f(4x^3-3x)&= 3f(x)\,\,\,(\left | x \right |\geq\frac{1}{2}). \end{align*}$

گروه 6: برای هر عدد طبیعی n، تابع f را به صورت زیر تعریف می کنیم:

$f(1)=1,\,\,\,f(n)=f(n-1)+a^n\,\,\,(n\geq 2)$

در این صورت (f(n بیابید.

هفته ی چهارم

چهارشنبه ۲۹ مهر ۱۳۸۸

گروه 1: فرض کنید $f(x)=sin(x)-cos(x)$ . ثابت کنید $f(1)>0$ . (توجه کنید که در این جا منظور از 1، همان 1 رادیان است.)

گروه 2: تابع $f(x)=\frac{4-x}{2x-4}$ را در نظر بگیرید. ثابت کنید که مقدار ثابتی مانند $\alpha$ وجود دارد که $f(\alpha +x)\cdot f(\alpha -x)$ مقدار ثابتی است.

گروه 3: تابع زیر را در نظر بگیرید:

$f(x)=\frac{a(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{b(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+\frac{c(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}$

مقادیر $f(b),f(a)$ و $f(c)$ را محاسبه کنید و سپس با توجه به عبارت $f(x)-x$ ،نتیجه بگیرید که $f(x)=x$ .

گروه ۴: فرض کنید n عددی فرد باشد و $a^2\neq 1$ . تابع f را چنان بیابید که ضابطه ی آن در رابطه ی زیر صدق کند:

. $af(x^n)+f(-x^n)=bx$

گروه 5: اگر $f(x)\cdot sin(x)+f(-x)\cdot cos(x)=x$ ، در این صورت $f(x)$ را بیابید.

گروه 6: فرض کنید $f(x)=1+x+x^2+\cdots+x^8$ . مقدار $f(\sqrt{2})\cdot f(-\sqrt{2})$ را به طور دقیق محاسبه کنید.

هفته ی پنجم

پنج شنبه 7 آبان ۱۳۸۸

برد توابع زیر را به دست آورید (شماره ی مساله، مربوط به شماره ی گروه است):

$y=2sin(x)+3cos(x)$
$y=\frac{x}{(x+1)(x-2)}$
$y=sin^4(x)+cos^4(x)+\frac{1}{4}$
$y=\frac{2-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$
$\120dpi y=2^{\frac{|x|-x}{2}+1}$
$y=x^4-2x^2+4$

هفته ی ششم

جمعه ۲۲ آبان ۱۳۸۸

دامنه ی توابع زیر را به دست آورید (شماره ی مساله، مربوط به شماره ی گروه است):

$y=log_4(log_4(log_4\,x))$
$y=\sqrt{x-|x|}+\frac{x^2-1}{x^2+1}$
$y=\sqrt{|x|-x}\cdot\sqrt{-sin^2(\pi x)}$
$y=\sqrt{\frac{8}{|x|}-1}+log(x^2-1)$
$y=log(1-2cos(x))$
$y=log\frac{x-2}{x+2}$

هفته ی هفتم

پنج شنبه ۵ آذر ۱۳۸۸

(شماره ی مساله، مربوط به شماره ی گروه است):

۱. تابع f روی اعداد گویا به صورت زیر تعریف شده است:

. $f(x+y)=f(x)+f(y)$

ثابت کنید که برای هر x داریم: $f(x)=f(1)\cdot f(x)$

2. فرض کنید $f(x)=x^2-1$ . درباره ی نقاط برخورد تابع $fof$ با محور طول ها تحقیق کنید.

3. ثابت کنید معادله ی زیر، ریشه ی حقیقی ندارد:

$x^6-2x^5+3x^4-4x^3+5x^2-6x+7=0$

4. اگر b ،a و c اعداد صحیح فرد باشند، ثابت کنید معادله ی $ax^2+bx+c=0$ ریشه ی گویا ندارد.

5. به ازای چه مقداری از m، معادله ی $mx^2+5x+m^2-6=0$ ، دو ریشه ی حقیقی و معکوس هم دارد؟

6. به ازای چه مقداری از m، عدد $\frac{1}{8}$ میانگین دو ریشه ی حقیقی معادله ی درجه ی دوم زیر است؟

$(m^2-4)x^2-3x+m=0$

هفته ی هشتم

پنج شنبه ۱۲ آذر ۱۳۸۸

(شماره ی مساله، مربوط به شماره ی گروه است):

1. بین p و q و 'p و 'q که $p\neq p'$ ، چه رابطه ای برقرار باشد تا دو معادله ی زیر، یک ریشه ی مشترک داشته باشند؟

. $x^2+px+q=0,\,\,\,x^2+p'x+q'=0$

2. m را چنان بیابید که یکی از ریشه های معادله ی $x^2-x-m=0$ دو برابر یکی از ریشه های $x^2-(m+2)x+3=0$ باشد.

3. فرض کنید $\alpha$ و $\beta$ ، ریشه های معادله ی $2x^2-7x+4=0$ باشند. مقدار $\alpha^4+\beta^4$ را بیابید.

۴. معادله ای تشکیل دهید که ریشه های آن، توان چهارم ریشه های معادله ی زیر باشد:

$ax^2+bx+c=0$

۵. فرض کنید $\alpha$ و $\beta$ ، ریشه های معادله ی $ax^2+bx+c=0$ باشند. ثابت کنید که b و c ریشه های معادله ی $x^2+(\alpha+\beta-\alpha\beta)x-\alpha\beta(\alpha+\beta)=0$ هستند.

6. فرض کنید فرض کنید $\alpha$ و $\beta$ ، ریشه های معادله ی $x^2+px+12=0$ باشند. p را به گونه ای بیابید که $\alpha-\beta=1$ .

هفته ی نهم

پنج شنبه ۱۹ آذر ۱۳۸۸

(شماره ی مساله، مربوط به شماره ی گروه است):

۱. $f(x)$ را چند جمله ای از درجه ی ۴ بگیرید. فرض کنید $f(x+2)$ بر $(x-1)^2$ و $f(x-1)$ بر $(x-2)^3$ بخش پذیر باشد و $f(5)=81$ . با شرایط ذکر شده، $f(x)$ را بیابید.

2. اگر $f(-x)+2f(x)=x^3$ ، با قی مانده ی تقسیم $f(x)$ بر $x-1$ را به دست آورید.

3. مقادیر a و b را چنان بیابید که عبارت $x^4-3x^3+ax+b$ بر عبارت $x^2-2x+4$ بخش پذیر باشد.

4. ثابت کنید که اگر باقی مانده ی تقسیم چند جمله ای درجه ی 2 ی $f(x)$ بر $x-1$ و $x-2$ و $x-3$ به ترتیب 0 و 1 و 4 باشد، باید $f(x)=(x-1)^2$ .

5. در تقسیم $x^3+px+q$ بر $x-\alpha$ و $x-\beta$ به ترتیب باقی مانده های $\beta$ و $\alpha$ به دست آمده است. دو رابطه ی زیر را ثابت کنید:

$\alpha^2+\beta^2+\alpha\beta=-(p+1),\,\,\,(\alpha+\beta)(\alpha\beta+1)=q$

6. ثابت کنید که اگر چند جمله ای $x^4+px^2+qx+a^2$ بر $x^2-1$ قابل قسمت باشد، بر $x^2-a^2$ هم قابل قسمت است.

هفته ی دهم

پنج شنبه ۲۶ آذر ۱۳۸۸

(شماره ی مساله، مربوط به شماره ی گروه است):

۱. فرض کنید $f(x)=x+\sqrt{x^2+1}$ ؛ در این صورت، ضابطه ی $f^{-1}(x)$ را به طور دقیق، به دست آورید.

2. آیا می توان گفت که اگر تابعی فرد و معکوس پذیر باشد، معکوس آن نیز تابعی فرد است؟ اگر این ادعا درست است، آن را ثابت کنید و اگر نیست، مثال نقضی برای آن بیاورید.

3. ثابت کنید تابع زیر، یک به یک است:

$y=\sqrt{1+x+2\sqrt{1+x}}$

4. ثابت کنید تابع زیر، یک به یک است و معکوس آن را به دست آورید:

$f(x)=x+\frac{1}{x}\,\,\,\,\,(x\geq 1)$

5. ثابت کنید تابع $f(x)=x|x|$ ، یک به یک است و معکوس آن را به دست آورید.

6. آیا می توان گفت که اگر f تابعی با دامنه ی $\mathbb{R}$ باشد، در این صورت $f(x)+f(-x)$ معکوس ناپذیر است؟ اگر این ادعا درست است، آن را ثابت کنید و اگر نیست، مثال نقضی برای آن بیاورید.

موفق و پیروز باشید.

+ نوشته شده در جمعه دهم مهر ۱۳۸۸ ساعت ۶:۵۷ ب.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی

اعمال روی توابع (جمع-تفاضل-ضرب-تقسیم و ترکیب دو تابع)

صفحه اصلی وبلاگ

فهرست مطالب آموزش حسابان

حل و بحث مسائل کتاب حسابان جدید و رفع اشکال

توجه: اگر فرمولها و تصاویر این درس دیده نمی شوند، اینجا را کلیک کنید، متشکرم.

موضوع: اعمال روی توابع

(جمع-تفاضل-ضرب-تقسیم و ترکیب دو تابع)

تعاریف اصلی:

همانند اعداد، می توان دو تابع حقیقی را با هم جمع، از هم کم، در هم ضرب و بر هم تقسیم کرد و باز هم یک تابع حقیقی به دست آورد. بسیاری از توابع پیشرفته، به همین صورت به دست می آیند. دو تابع زیر را در نظر بگیرید:

$\begin{cases} f:D_f\to \mathbb{R} & \\ y=f(x) \end{cases} \,\,\,\begin{cases} g:D_g\to \mathbb{R} & \\ y=g(x) \end{cases}$

تعریف جمع و تفاضل و ضرب دو تابع f و g:

$\begin{cases} f+g:D_f\cap D_g\to \mathbb{R} & \\ (f+g)(x)=f(x)+g(x) \end{cases} \begin{cases} f-g:D_f\cap D_g\to \mathbb{R} & \\ (f-g)(x)=f(x)-g(x) \end{cases}$

$\begin{cases} fg:D_f\cap D_g\to \mathbb{R} & \\ (fg)(x)=f(x)g(x) \end{cases}$ ؛

بنابراین

$D_{f+g}=D_{f-g}=D_{fg}=D_f\cap D_g$

تمرین: به طور دقیق، علت تساوی های بالا را توضیح دهید.

تعریف تقسیم دو تابع حقیقی:

$\begin{cases} \frac{f}{g}:D_f\cap D_g-\{x\,|\,g(x)= 0\}\to \mathbb{R} & \\ \frac{f}{g}(x)=\frac{f(x)}{g(x)} \end{cases}$ ؛

بنابر این

$D_\frac{f}{g}=D_f\cap D_g-\{x\,|\,g(x)= 0\}$

تمرین: به طور دقیق، علت تساوی بالا را توضیح دهید.

چند مثال:

  اگر $f(x)=\frac{1}{x-1}$ و $g(x)=x^2-1$ ، آن گاه دامنه و ضابطه های توابع $fg,\,f-g,\,f+g$ و $\frac{f}{g}$ را به دست آورید.

حل مساله:

چون $D_f=\mathbb{R}-\{1\}$ و $D_g=\mathbb{R}$ ، بنابر این

                        $D_{f+g}=D_{f-g}=D_{fg}=D_f\cap D_g=\mathbb{R}-\{1\}$

و

                         $D_\frac{f}{g}=(\mathbb{R}-\{1\})-\{1,-1\}=\mathbb{R}-\{1,-1\}$
و
$\begin{align*} (f+g)(x) &= f(x)+g(x)=\frac{1}{x-1}+x^2-1\\ (f-g)(x) &= f(x)-g(x)=\frac{1}{x-1}-x^2+1\\ (fg)(x) &= f(x)g(x)=\frac{1}{x-1}(x^2-1)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\,\,(x\neq 1)\\ \frac{f}{g}(x)&= \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\frac{1}{x-1}}{x^2-1}=\frac{1}{(x^2-1)(x-1)}=\frac{1}{(x+1)(x-1)^2} \end{align*}$
فرض کنید

$f(x)=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}},\,\,g(x)=\sqrt{x^2-1}$

بنابر این $D_{f+g}=D_{f-g}=D_{fg}=D_f\cap D_g=\{-1\}$ ؛ یعنی توابع $fg,\,f-g,\,f+g$ فقط می توانند روی عدد 1- اثر کنند؛ نیز می توان دید که

$D_\frac{f}{g}=\varnothing$ ؛
یعنی تابع $\frac{f}{g}$ ، تابع حقیقی بی معنایی است.

+ نوشته شده در چهارشنبه سوم تیر ۱۳۸۸ ساعت ۷:۴۲ ب.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی | نظر بدهيد

تساوی دو تابع

صفحه اصلی وبلاگ (آدرس جدید http://www.ep-math.coo.ir/)

فهرست مطالب آموزش حسابان

حل و بحث مسائل کتاب حسابان جدید و رفع اشکال

توجه: اگر فرمولها و تصاویر این درس دیده نمی شوند اینجا را کلیک کنید، متشکرم.

موضوع: تساوی دو تابع

نکات اصلی:

به استدلال زیر دقت کنید:

                               $\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)}=\frac{\not{(x-1)}(x+1)}{\not{(x-1)}}=x+1$

آیا این استدلال درست است؟!

سوال:
آیا می توان به دلخواه، هر عدد یا هر عبارتی را از طرفین یک معادله یا از صورت و مخرج یک کسر ساده کرد؟! اگر جواب شما آری است، به دو استدلال زیر توجه کنید:

                 $1\times 0=2\times 0\Rightarrow 1\times \not{0}=2\times \not{0}\Rightarrow 1=2 \,\,\,\,\,\,!!!$

                 $\frac{1\times 0}{1\times 0}=\frac{2\times 0}{1\times 0}\Rightarrow \frac{1\times \not{0}}{1\times \not{0}}=\frac{2\times \not{0}}{1\times \not{0}}\Rightarrow 1=2 \,\,\,\,\,\,!!!$

یا استدلال دیگر:

                                    $\begin{align*} x &= 1\\ x^2 &= 1^2\\ x^2-x&= 1-x\\ x(x-1) &= -1(x-1)\\ x &= -1 \end{align*}$

و لذا ۱=۱- !!! (کتاب کار ریاضی ۲ جلد اول - وزارت آموزش و پرورش صفحه ی ۶۶)

بنابر این تا مطمئن نشده ایم که $a\neq 0$ نمی توان از $ab=ac$ نتیجه گرفت که $b=c$ یا این که $\frac{ab}{ac}=\frac{b}{c}$ (دقت کنید).

با توجه به نکات بالا، دو تابع $f(x)=x+1$ و $g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ با یک دیگر برابر نیستند زیرا عدد ۱ در دامنه ی اولی است اما در دامنه ی دومی نیست. بنابر این

       اگر دامنه های دو تابع با هم برابر نباشند، آن دو تابع با هم برابر نیستند.
به استدلال زیر دقت کنید:

برای هر $x$ داریم:

                            $\sqrt{1-sin^2(x)}=\sqrt{cos^2(x)}=cos(x)$

بنابر این

                                     $\begin{align*} \sqrt{1-sin^2(\frac{2\pi}{3})} &= cos(\frac{2\pi}{3})\\ \sqrt{1-sin^2(\frac{\pi}{3})} &= -cos(\frac{\pi}{3})\\ \frac{\sqrt{3}}{2}&= -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}$

که تساوی نادرستی است. پس اشکال استدلال بالا چیست؟ با کمی دقت می توان استدلال بالا را به صورت زیر تصحیح کرد:

                          $\sqrt{1-sin^2(x)}=\sqrt{cos^2(x)}=|cos(x)|$

دو تابع $f(x)=\sqrt{1-sin^2(x)}$ و $g(x)=cos(x)$ دارای دامنه های برابر هستند (دامنه ی هر دو $\mathbb{R}$ است، چرا؟) اما برای بعضی از $x$ های دامنه، $f(x)\neq g(x)$ ؛ بنابر این

اگر دو تابع f و g دارای دامنه های برابر باشند اما تساوی ${\color{red} f(x)=g(x)}$ برای هر ${\color{red} x}$ برقرار نباشد، آن گاه دو تابع برابر نیستند.
با توجه به نکات ۱ و ۲ می توان مطلب زیر را ثابت کرد:

دو تابع و وقتی و فقط وقتی با هم برابرند که

- اولاً $D_{f}=D_{g}$ (تساوی دامنه ای)

- ثانیاً برای هر از دامنه، $f(x)=g(x)$ (تساوی نقطه به نقطه)

چند مثال:

دوتابع زیر برابر نیستند، چرا؟

$f(x)=\sqrt{x^2-1},\,\,\,\,g(x)=\sqrt{x-1}\sqrt{x+1}$

(دامنه ها را مقایسه کنید.)
دو تابع زیر برابرند، چرا؟

$f(x)=\sqrt{x^2},\,\,\,\,g(x)=|x|$
دوتابع زیر برابر نیستند، چرا؟

$f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}},\,\,\,\,g(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}$
دو تابع زیر برابرند، چرا؟

$f(k)=cos(k\pi),\,\,g(k)=(-1)^{k}\,\,\,\,\,(k\in \mathbb{Z})$
دوتابع زیر برابر نیستند، چرا؟

$f(x)=\frac{x+1}{\frac{1}{x}},\,\,g(x)=x(x+1)$
دوتابع زیر برابرند، چرا؟ (دقت کنید که در این مثال، $x \in \mathbb{R}$ .)

$f(x)=[x]+[-x],\,\,\,\,g(x)=\begin{cases} 0& \text{ } x\in \mathbb{Z} \\ -1& \text{ } x\notin \mathbb{Z} \end{cases}$

حل چند مساله از مسائل کتاب:

تمرین ۱۰ صفحه ی ۲۴:

اگر $f(x)=x-4$ و $g(x)=\begin{cases} \frac{x^2-16}{x+4} & \text{ } x\neq -4 \\ k& \text{ } x= -4 \end{cases}$ ، $k$ را طوری تعیین کنید که به ازای هر $x$ ، $f(x)=g(x)$ .

حل مساله:

$k=g(-4)=f(-4)=-8$

۲ تیر ۱۳۸۸

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و چهارم فروردین ۱۳۸۸ ساعت ۹:۳۰ ب.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی

دانلود میپل 11 نسخه ی portable

تعداد بازدید ها از این صفحه:

برای دانلود روی لینک رو به رو کلیک کنید: http://aa.1asphost.com/mofidy2/Maple/PM11.txt

دانلود جلسات دوم تا دوازدهم آموزش میپل:

بازدید کنندگان عزیز می توانید تمام مطالب جلسات دوم تا دوازدهم آموزش میپل را از لینک زیر دانلود و از آن ها استفاده فرمایید. هر جلسه در یک فایل zip قرارداده شده است که پس از باز کردن آن ها، مطالب را با فرمت html مطالعه کنید. لینک زیر، پوشه ی ویژه ی این حقیر برای آموزش میپل است که در آن میپل 7 و 11 و فایل های مفید دیگر از جمله کتب آموزشی میپل نیز وجود دارد.

رمز ورود به پوشه: mofidy.blogfa.com

لینک دانلود: http://www.4shared.com/dir/11884334/97ec6cc3/Maple.html

28 دی ماه 1387

+ نوشته شده در دوشنبه شانزدهم دی ۱۳۸۷ ساعت ۱۰:۴۲ ب.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی

آموزش میپل

صفحه ی اصلی وبلاگ

بسم الله الرحمن الرحیم

در اوایل افتتاح وبلاگ ریاضیات مقدماتی و تخصصی، صفحه ای با عنوان «آموزش میپل» ایجاد و دستورات بسیار ساده ی میپل در آن، با ذکر مثالها و ارائه ی چند جدول، آموزش داده شد. با توجه به نتایجی که ازگوگل به دست آمد، همین یک صفحه، چنان مورد استقبال قرار گرفت که باور آن برایم مشکل و نشان دهنده ی نیاز شدید دانش آموزان و دانشجویان عزیز به این گونه نرم افزارها بود.

این حقیر، چند سالی است که درسی را با عنوان «کاربرد رایانه در آموزش ریاضی» در مراکز تربیت معلم استان زنجان، تدریس می کنم و عمدتاً هم در آن، کار با میپل را آموزش می دهم. با توجه به مطالبی که در بالا ذکر کردم، بر آن شدم که سلسله دروسی را که در این مراکز ارائه می دهم، با شیوه ای نو، برای استفاده ی همگان، تنظیم و خدمت ریاضی دوستان عزیز تقدیم نمایم، با این امید که در پیشرفت علمی دانش آموزان و دانشجویان عزیز، موثر باشد و برای بنده ذخیره ای، انشاءالله.

مهدی مفیدی احمدی

۲ تیر ۱۳۸۷

توضیحات ضروری:

برای ورود به جلسه، روی موضوع مربوط به آن کلیک کنید. بعد از ورود به درس مربوطه باید مدتی صبر کنید تا تصاویر به طور کامل باز شود. اگر باز تصاویر و فرمولها را نمی بینید یا لینکها باز نمی شوند، صفحه را refresh کنید. اگر چندین بار همان مشکل تکرار شد، مشکل را در اینجا به بنده اطلاع دهید.
اگر غلط علمی یا نوشتاری در متن جلسات مشاهده کردید، یا پیشنهادی برای بهبود آموزش جلسات داشتید، لطفاً در این جا به این حقیر اطلاع دهید.
دانلود جلسات دوم تا دوازدهم آموزش میپل:

روش اول: دانلود 12 درس آموزش میپل از سایت رپیدشر با حجم 11 مگ:

                        http://rapidshare.com/files/239909028/Maple.rar

(12 خرداد ۱۳۸۸)

روش دوم:
بازدید کنندگان عزیز می توانید تمام مطالب جلسات دوم تا دوازدهم را از لینک زیر دانلود و از آن ها استفاده فرمایید. هر جلسه در یک فایل zip قرارداده شده است که پس از باز کردن آن ها، مطالب را با فرمت html مطالعه کنید. لینک زیر، پوشه ی ویژه ی این حقیر برای آموزش میپل است که در آن میپل 7 و 11 و فایل های مفید دیگر از جمله کتب آموزشی میپل نیز وجود دارد.

رمز ورود به پوشه:      mofidy.blogfa.com

لینک دانلود:  http://www.4shared.com/dir/11884334/97ec6cc3/Maple.html

28 دی ماه 1387

با تشکر

توضیح: اگر صفحات آموزشی زیر باز نشدند، به لینک زیر مراجعه فرمایید:

http://epmath.99k.org/Education/Maple.htm

جلسه	موضوع	توضیحات
اول	تاریخچه ی نرم افزار میپل، دانلود آن و گپی چند دقیقه ای با میپل	در این جلسه ضمن معرفی نرم افزار و ارائه ی دو لینک برای دانلود میپل ۷ و میپل ۱۱ (نسخه ی portable)، چند دقیقه ای، دستورات معمولی میپل را مرور می کنیم تا نیاز های اولیه ی کاربران تامین شود. کار روی دستورات این جلسه و آشنایی با محیط میپل، برای مطالعه ی جلسات بعدی الزامی است.
دوم	خلاصه ای از دستورات مهم میپل	در این جلسه به طور خلاصه، دستورات مهم میپل در بعضی از شاخه های ریاضی، برای نمایش قدرت این نرم افزار، ارائه می شود. عمداً توضیح فارسی خاصی در آن نمی بینید، در جلسات بعد، درباره ی بسیاری از این دستورات، توضیح لازم داده خواهد شد. سعی کنید آنها را اجرا و نتیجه را خودتان روی رایانه مشاهده کنید. «توجه کنید که آزمایش و خطا یکی از بهترین راه ها برای آموختن میپل است.» به روز رسانی جلسه: دی ماه 1387
سوم	دستورات مقدماتی میپل	- دستورات میپل، برای محاسبات مقدماتی مانند جمع و ضرب اعدادحقیقی و مختلط، به توان رسانی،کار با کسرها و فاکتوریل همراه با بعضی از خطاهای محاسباتی - تبدیل دستورات میپل به فرمول های معمولی ریاضی - معرفی چند نماد در میپل - نوشتن سطری و ستونی و نوشتن چند دستور در یک بلوک - یک تمرین برای کار بیشتر تذکر لازم: دراین درس و دروس بعدی، دستوراتی را که به رنگ قرمز روبه روی < نوشته شده است، کپی و آن را در صفحه ی کار میپل، روبه روی پرامت <]، paste و سپس آن را با زدن Enter اجرا کنید. به روز رسانی جلسه: تابستان ۱387
چهارم	دو دستور evalf و subs	- معرفی دو تابع evalf و subs که اولی برای تقریب اعشاری اعداد و دومی برای جایگذاری مقادیر معلوم به جای مجهولات به کار می رود. - دستور restart برای بازگرداندن میپل به حالت پیش فرض - چهار تمرین همراه با جواب - پنج تمرین برای کار بیشتر به روز رسانی جلسه: دی ماه ۱387
پنجم	توابع محاسباتی مهم میپل	- معرفی توابع قدر مطلق، ریشه ی دوم، نمایی، فاکتوریل، لگاریتم، مثلثاتی، مثلثاتی معکوس، هذلولوی، دوجمله ای، جزءصحیح بالا ،جزءصحیح پایین و تابع قسمت کسری اعداد - دستور simplify - علامت ditto یا % - دستور convert - محاسبه ی خارج قسمت و باقی مانده ی تقسیم ها با دستورات modp و irem - محاسبه ی بزرگ ترین مقسوم علیه مشترک و کوچکترین مضرب مشترک چند عدد. - 6 تمرین همراه با حل - 11 تمرین برای کار بیشتر به روز رسانی جلسه: تابستان ۱387
ششم	توابع جبری و حل معادلات و نامعادلات	- بسط و تجزیه ی عبارات جبری - محاسبه ی باقی مانده و خارج قسمت یک چندجمله ای بر چند جمله ای دیگر - کار با چند جمله ای ها: به دست آوردن درجه، ضرایب و استاندارد کردن آن ها - ساده کردن عبارات گویا و به دست آوردن صورت و مخرج آن ها - حل معادلات جبری و مثلثاتی - حل نامعادلات - معرفی یک لیست و نیز یک مجموعه به میپل - ۹ تمرین همراه با حل - ۱۰ تمرین برای کار بیشتر به روز رسانی جلسه: دی ماه 1387
هفتم	کار با توابع در میپل	- تعریف توابع در میپل - دستور map - محاسبه ی کم ترین و بیش ترین مقدار تابع - توابع دو متغیره و چند متغیره - توابع چند ضابطه ای - ترکیب توابع و محاسبه ی معکوس آن ها - 11 تمرین همراه با حل - 8 تمرین برای کار بیشتر به روز رسانی جلسه: دی ماه 1387
هشتم	رسم توابع و اشکال دو بعدی	- دستور plot برای توابع ۲ بعدی دکارتی و پارامتری - روش های علامت گذاری روی محورهای x و y - دستور مقید سازی scaling=constrained برای رسم بهتر اشکال - توضیحاتی درباره ی بسته های میپل (packages) - رسم اشکال در مختصات قطبی - رسم تابع و معکوس آن در یک دستگاه همراه با نیم ساز ربع اول و سوم - مطالب تکمیلی (رسم اشکال به صورت نقطه ای و تعیین سبک خطوط در منحنی ها، تغییر رنگ و ضخامت شکل ها) - رسم چند تابع در یک دستگاه با شرایط مختلف با استفاده از دستور display - رسم توابع ضمنی با دستور implicitplot و توضیحاتی درباره ی قضیه ی آخر فرما - رسم جواب دستگاه های نامعادله ی خطی - رسم بردارهای دو بعدی - 12 تمرین همراه با حل - 10 تمرین برای کار بیشتر به روز رسانی جلسه: تابستان ۱387
نهم	رسم توابع و اشکال سه بعدی	- دستور plot3d برای رسم توابع ۳ بعدی دکارتی و پارامتری - رسم اشکال سه بعدی در مختصات کروی و استوانه ای - رسم چند تابع سه بعدی در یک دستگاه مختصات - رسم دقیق تر اشکال سه بعدی با دستورات grid و numpoints - سایه زنی و نوردهی به اشکال سه بعدی برای زیبایی و دقت بیشتر - رسم منحنی های سه بعدی و متورم سازی آن ها برای ایجاد اشکال پیچیده تر - رسم توابع ضمنی سه متغیره و بحثی پیرامون سطوح درجه ی دوم مقدماتی بیضی گون و هذلولوی های یک پارچه و دوپارچه - انواع فونت ها در میپل برای درج متون مختلف - 13 تمرین حل شده - 3 تمرین برای کار بیشتر به روز رسانی جلسه: تابستان ۱387
دهم	رسم اشکال دو بعدی و سه بعدی متحرک	- دستور animate برای متحرک سازی اشکال دو بعدی - دستورات frames و numpoints برای تغییر سرعت و همواری بیشتر اشکال متحرک - چند نکته ی آموزشی در تدریس ریاضیات مقدماتی و پیشرفته با استفاده از تصاویر متحرک - متحرک سازی سه بعدی با استفاده از دستور animate3d - متون متحرک دو بعدی و سه بعدی - آنالیز برداری دو بعدی و سه بعدی - انتقال دو بعدی و سه بعدی با استفاده از ماتریس ها - مثال هایی از برنامه های طولانی میپل برای خلق اشکال پیچیده ی متحرک به روز رسانی جلسه: تابستان ۱387
یازدهم	دستور display برای ترکیب اشکال	مثال هایی از دستور display برای - رسم هم زمان اشکال با شرایط پیچیده در یک دستگاه - ایجاد اشکال متحرک - ایجاد متون در مکان های مناسب صفحه و فضا همراه با دستور align - رسم اشکال برداری دو بعدی و سه بعدی، ضرب خارجی دو بردار - رسم دایره، کره، نیم کره، چند وجهی های منتظم افلاطونی، استوانه، مخروط و مکعب مستطیل - ستاره ای کردن و برش اشکال سه بعدی برای تولید اشکال پیچیده به روز رسانی جلسه: تابستان ۱387
دوازدهم	ریاضیات عمومی (حد و مشتق و انتگرال)	- حد، حد راست و حد چپ توابع در نقاط حقیقی و بی نهایت با استفاده از دستور limit - محاسبه ی مشتق توابع با استفاده از حد - استفاده از دستور Hint برای حل گام به گام مسائل مربوط به حد، مشتق و انتگرال توابع - مشتق توابع با استفاده از دستور diff - مشتقات جزئی با استفاده از دستور implicitdiff - مثالی شهودی از قضیه مقدار میانگین - رسم خطوط مماس بر منحنی - محاسبه ی سری های جمعی و ضربی هم گرا با استفاده از دستور sum - تابع همه جا پیوسته و هیج جا مشتق پذیر وایرشتراس - سری فوق سریع BBP هم گرا به عدد پی - انتگرال های معین و نامعین (سره و ناسره) توابع با استفاده از دستور int - انتگرال گیری به روش های تغییر متغیر و جزء به جزء - ایجاد دنباله ها با استفاده از دستور seq و حد دنباله ها - ایجاد مستطیل های زیر نمودار برای محاسبه ی مساحت زیر نمودار توابع - دوران شکل توابع حول محور x ها و y ها و محاسبه ی حجم شکل ایجاد شده - بسط تیلور و یک کاربرد از آن - انتگرا ل های چند گانه - 21 تمرین حل شده - 12 تمرین برای کار بیشتر به روز رسانی جلسه: دی ماه ۱387
سیزدهم	برنامه نویسی به زبان میپل	Programing in Maple
چهاردهم	مطالب تکمیلی	- نمونه سوال - دانلود کتب و فایل های مربوط به میپل - معرفی سایت ی آموزش میپل

+ نوشته شده در یکشنبه دوم تیر ۱۳۸۷ ساعت ۷:۲۳ ب.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی

تستهای حساب دیفرانسیل و انتگرال پیش دانشگاهی- قسمت اول - شامل 50 تست

1) (سال 53) اگر z=2x+1 ، برای آن که 2 >|x-1| ، باید داشته باشیم:

گزینه ها:

$(1)\ -2<z<0\quad \quad (2)\ -1<z<0\quad \quad (3)\,\, 0<z<7\quad \quad (4)\ -1<z<7$

2) (سال 63) هر گاه (f(x تابعی باشد که ${\lim }\limits_{x \to 0} f(x) =- 1$ آن گاه مقدار حد زیر کدام است؟

${\lim }\limits_{x \to 0} (f(x) + 1)\sin \frac{\pi }{{x^2 }}$

گزینه ها:

$(1)\ 0\quad \quad (2)\ 1\quad \quad (3)\,\,2\quad \quad (4)\ \pi$

3) (سال 64) به ازای کدام مقدار a، تابع زیر در نقطه ی x=1 دارای حد است؟

$f(x)=a[x]+[x+1]$

گزینه ها:

$(1)\ -2\quad \quad (2)\ -1\quad \quad (3)\,\,1\quad \quad (4)\ 2$

4) (سال 64) حد عبارت زیر کدام است؟

${\lim }\limits_{x \to \frac{1}{4}} \frac{{2 + 2\cos (4\pi x)}}{{(4x - 1)^2 }}$

گزینه ها:

$(1)\;\pi ^2 \quad \quad (2)\;\pi \quad \quad (3)\,\,\frac{\pi }{2}\quad \quad (4)\;\frac{\pi }{4}$

5) (سال 65) خط مماس بر منحنی (y=Arctan(x)+Arcsin(x در نقطه ی x=0 با خط y=3x+1 چه زاویه ای می سازد؟

گزینه ها:

$(1)\;\frac{\pi }{4}\quad \quad (2)\;Arc\tan (\frac{1}{7})\quad \quad (3)\,\,\frac{\pi }{3}\quad \quad (4)\;Arc\tan (\frac{1}{5})$

6) (سال 65) اگر به ازای هر x، $f(x)=|3sin(x)+4cos(x)|$ آن گاه بزرگ ترین مقدار f کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ 4\quad \quad (2)\ 5\quad \quad (3)\,\,6\quad \quad (4)\ 7$

7) (سال 65) حاصل انتگرال زیر کدام است؟

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{[x]\cos (x)dx}$

گزینه ها:

$(1)\ 1-\frac{1}{2}sin(1)\quad \quad (2)\ 1-sin(1)\quad \quad (3)\,\,1+\frac{1}{2}sin(1)\quad \quad (4)\ 1+sin(1)$

8) (سال 65) سطح محصور بین منحنی های $y=x^2$ و $x=y^2$ کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ \frac{4}{3}\quad \quad (2)\ \frac{5}{3}\quad \quad (3)\,\,\frac{2}{3}\quad \quad (4)\ \frac{1}{3}$

9) (سال 66) فرض کنید f تابعی باشد که روی تمام اعداد حقیقی تعریف شده است و در هیچ نقطه ای دارای حد نیست. اگر |f| حداکثر 2 باشد، تابع زیر دقیقاً در چند نقطه دارای حدی حقیقی است؟

$(x^2-1)f(x)$

گزینه ها:

$(1)\ 1\quad \quad (2)\ 2\quad \quad (3)\,\,3\quad \quad (4)\ 4$

10) (سال 66) تابع f با ضابطه ی زیر را در نظر بگیرید. در این صورت تابع $f(tan(x))$ در کدام فاصله پیوسته است؟

$f(x)=\sqrt{x-1},\,\,\,(x\geq 1)$

گزینه ها:

$(1)\;[0,\frac{\pi }{2})\quad \quad (2)\;[0,\frac{\pi }{4}]\quad \quad (3)\,\,[\frac{\pi }{4},\pi ]\quad \quad (4)\;\,[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$

11) (سال 66) رابطه ی زیر، x را به طور ضمنی بر حسب y نشان می دهد. مشتق x در نقطه ی صفر کدام است؟

$x^5+y^4+x^2y=1$

گزینه ها:

$(1)\ -5\quad \quad (2)\ \frac{-1}{5}\quad \quad (3)\,\,\frac{1}{5}\quad \quad (4)\ 5$

12) (سال 66) x و y دو عدد حقیقی با مجموع 1 هستند. در این صورت کم ترین مقدار مجموع مکعبات آن ها کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ \frac{1}{4}\quad \quad (2)\ \frac{1}{3}\quad \quad (3)\,\,\frac{1}{2}\quad \quad (4)\ 1$

13) (سال 67) فرض کنید شرایط زیر بر قرار باشد. حاصل عبارت |a+b|+|b|+|a| کدام است؟

$b<0<a,\,\,\,|a|>|b|$

گزینه ها:

$(1)\ -2b\quad \quad (2)\ -2a\quad \quad (3)\,\,2a\quad \quad (4)\ 2b$

14) (سال 67) اگر به ازای هر x که $|x-1|<\delta$ آن گاه $|\frac{2x^2+x}{x}-3|<\frac{1}{5}$ آن گاه مقدار دلتا کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ \frac{1}{10}\quad \quad (2)\ \frac{1}{8}\quad \quad (3)\,\,\frac{1}{4}\quad \quad (4)\ \frac{2}{5}$

15) (سال 67) کدام یک از توابع زیر بر بازه ی $[\pi,2\pi]$ صعودی است؟

گزینه ها:

$(1)\ y=sin(x)\quad \quad (2)\ y=cos(x)\quad \quad (3)\,\,y=tan(x)\quad \quad (4)\ y=cot(x)$

16) (سال 67) حاصل انتگرال زیر کدام است؟

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{3\sin (x) - \sin (3x)}}{{1 + \cos (x)}}} \,dx$

گزینه ها:

$(1)\ \frac{1}{2}\quad \quad (2)\ 1\quad \quad (3)\,\,\frac{3}{2}\quad \quad (4)\ 2$

17) (سال 67) اگر $u(x)=\int\limits_{-x}^{x} {cos(t)} \,dt$ آن گاه مشتق u در نقطه ی x کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ -sin(x)\quad \quad (2)\ -cos(x)\quad \quad (3)\,\,2sin(x)\quad \quad (4)\ 2cos(x)$

18) (سال 68) اگر $(1+\sqrt{2})^6+(1-\sqrt{2})^6=198$ آن گاه جزء صحیح عدد $(1+sqrt{2})^6$ کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ 197\quad \quad (2)\ 196\quad \quad (3)\,\,197\quad \quad (4)\ 198$

19) (سال 68) معادله ی منحنی زیر کدام است؟

گزینه ها:

$\begin{align}(1)\;y = \frac{{x^2+ 1}}{{x^2- 1}}\quad \quad (2)\;\,y = \frac{{x^2- 1}}{{x^2+ 1}} \hfill \\(3)\,\,y = \frac{{x^2- 2x + 3}}{{x^2- 2x - 3}}\quad \quad (4)\;y = \frac{{x^2- 2x - 3}}{{x^2- 2x + 3}} \hfill \\ \end{align}$

20) (سال 68) رابطه ی بین r شعاع قاعده و h ارتفاع یک استوانه به صورت r+h=15 است. شعاع قاعده چه قدر اختیار شود تا سطح جانبی بیشینه (ماکزیمم) شود؟

گزینه ها:

$(1)\ 7.5\quad \quad (2)\ 8\quad \quad (3)\,\,10\quad \quad (4)\ 12$

21) (سال 68) حاصل انتگرال زیر کدام است؟

$\int_{\frac{1}{2}}^1 {[\frac{1}{x}]\frac{{dx}}{{x^3 }}}$

گزینه ها:

$(1)\ 1\quad \quad (2)\ 2\quad \quad (3)\,\,\frac{1}{2}\quad \quad (4)\ \frac{3}{2}$

22) (سال 69) تابع (y=cos(3x)+27cos(x روی کدام فاصله اکیداً نزولی است؟

گزینه ها:

$(1)\;[0,\pi ]\quad \quad (2)\;[\frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2}]\quad \quad (3)\,\,[\pi ,2\pi ]\quad \quad (4)\;\,[ - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$

23) (سال 69) اگر مماس بر منحنی نمایش $y=ax^3+6x^2+1$ در نقطه ی x=1 از منحنی عبور کند، a کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ -2\quad \quad (2)\ -1\quad \quad (3)\,\,1\quad \quad (4)\ 2$

24) (سال 69) مشتق تابعی در نقطه ی (x,y) برابر $\frac{\sqrt{x}}{y+1}$ است. اگر در x=0 مقدار این تابع 1 باشد، در x=1 مقدار $y^2+2y$ چه قدر است؟

گزینه ها:

$(1)\ \frac{17}{3}\quad \quad (2)\ \frac{16}{3}\quad \quad (3)\,\,\frac{14}{3}\quad \quad (4)\ \frac{13}{4}$

25) (سال 70) نامعادله ی 2x-3|
گزینه ها:

$(1)\ |x-2|<1\quad \quad (2)\ |x-1|<2\quad \quad (3)\,\,0<|x-2|<1\quad \quad (4)\ 0<|x-1|<1$

26) (سال 70) تعریف ${\lim }\limits_{x \to- \infty } f(x) =+ \infty$ کدام است؟

گزینه ها:

$\begin{align}(1)\;\forall N\exists M ;\;x <- M \Rightarrow f >N\quad \quad (2)\;\forall N\exists M ;\;x >M \Rightarrow f < -N \hfill \\(3)\,\,\forall N\exists M ;\;|x| > M \Rightarrow f > N\quad \quad (4)\;\forall N\exists M ;\;|x| > M \Rightarrow f < -N \hfill \\ \end{align}$

27) (سال 70) حاصل حد زیر کدام است؟

${\lim }\limits_{x \to- 2}\,\,\, \frac{{x + \sqrt {2 - x} }}{{\sqrt {1 - 4x}- 3}}$

گزینه ها:

$(1)\ \frac{-3}{4}\quad \quad (2)\ \frac{3}{4}\quad \quad (3)\,\,\frac{9}{8}\quad \quad (4)\ \frac{-9}{8}$

28) (سال 70) اگر سوی تقعر منحنی نمایش تابع $y=x^3+2ax^2+a$ در نقطه ی x=1 عوض شود، a کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ \frac{-3}{2}\quad \quad (2)\ \frac{-2}{3}\quad \quad (3)\,\,\frac{2}{3}\quad \quad (4)\ \frac{3}{2}$

29) (سال 70) شکل زیر مربوط به کدام تابع است؟

گزینه ها:

$(1)\;y =- x\sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \quad \quad (2)\;\,y = x\sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \cr(3)\,\,y =- x\sqrt {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \quad \quad (4)\;y = x\sqrt {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}}\cr$

30) (سال 70) S سطح جانبی یک استوانه و s سطح قاعده ی آن است. اگر S+s=12، شعاع قاعده ی استوانه چه قدر باشد تا حجم آن بیشینه (ماکزیمم) گردد؟

گزینه ها:

$(1)\ \frac{2}{\pi}\quad \quad (2)\ \frac{3}{\pi}\quad \quad (3)\,\,\frac{2}{\sqrt{\pi}}\quad \quad (4)\ \frac{3}{\sqrt{\pi}}$

31) (سال 70) اگر $F(x)=\int{f(x)dx}$ آن گاه $\int{f(ax+b)dx}$ کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ aF(ax+b)\quad \quad (2)\ \frac{1}{a}F(x)\quad \quad (3)\,\,aF(x)\quad \quad (4)\ \frac{1}{a}F(ax+b)$

32) (سال 70) حاصل انتگرال زیر کدام است؟

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{8}} {sin^2(2x)}\,dx$

گزینه ها:

$(1)\;\frac{1}{8}(\frac{\pi }{2} - 1)\quad \quad (2)\;\frac{1}{{16}}(\pi- 1)\quad \quad (3)\,\,\frac{1}{8}(\pi- 1)\quad \quad (4)\;\frac{1}{{16}}(\frac{\pi }{2} - 1)$

33) (سال 71) حد چپ تابع زیر در نقطه ی x=3 کدام است؟

$f(x)=\frac{3-[x]}{x-3}\sqrt{x^2-6x+9}$

گزینه ها:

$(1)\ 0\quad \quad (2)\ -1\quad \quad (3)\,\,1\quad \quad (4)\ -\infty$

34) (سال 71) حد عبارت زیر وقتی $x\to\,\pi^+$ کدام است؟

$\frac{sin(\pi sin(x))sin(\frac{x}{4})}{\sqrt{1+cos(x)}}$

گزینه ها:

$(1)\ -\pi\quad \quad (2)\ -2\pi\quad \quad (3)\,\,\pi^2\quad \quad (4)\ \pi^2\sqrt{2}$

35) (سال 71) اگر $x+y-2\sqrt{xy}=0$ آن گاه $\frac{dy}{dx}$ کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ -1\quad \quad (2)\ 1\quad \quad (3)\,\,\sqrt{2}\quad \quad (4)\ -\sqrt{2}$

36) (سال 71) به ازای کدام مقادیر a تابع زیر همواره پیوسته و در $x=\frac{\pi}{3}$ کمینه (می نیمم ) است؟

$y=\frac{5}{a cos(3x)+2}$

گزینه ها:

$(1)\ a>-2\quad \quad (2)\ 0<a<2\quad \quad (3)\,\,-2<a<2\quad \quad (4)\ -2<a<0$

37) (سال 71) تابع زیر در کدام فاصله صعودی است؟

$y=x+1+\frac{4}{x^2}$

گزینه ها:

$(1)\ [0,+\infty )\quad \quad (2)\ (-\infty ,2]\quad \quad (3)\,\,(-\infty ,2],\ [0,+\infty )\quad \quad (4)\ (-\infty ,0),\ [2,+\infty )$

38) (سال 71) اگر x=1 متناظر با نقطه ی عطف تابع زیر باشد، a کدام است؟

$y=\frac{(x+a)^3}{x^2}$

گزینه ها:

$(1)\ -2\quad \quad (2)\ -1\quad \quad (3)\,\,1\quad \quad (4)\ 2$

39) (سال 71) منحنی نمایش تابع زیر در نزدیکی نقطه ای به طول x=2 به کدام صورت است؟

$y=\frac{x^3+4}{x^2}$

گزینه ها:

40) (سال 71) نقطه ی $W(\frac{-1}{2},2)$ مرکز تقارن تابع زیر می باشد. a+b کدام است؟

$y=\frac{2x^2+ax+1}{2x+b}$

گزینه ها:

$(1)\ 7\quad \quad (2)\ 3\quad \quad (3)\,\,2\quad \quad (4)\ -3$

41) (سال 71) حاصل انتگرال زیر کدام است؟ ( [ ] به معنای جزء صحیح است.)

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}[4cos^2(x)+1]\,dx$

گزینه ها:

$(1)\;\frac{5\pi}{8}\quad \quad (2)\;\frac{5\pi}{6}\quad \quad (3)\,\,\frac{5\pi}{4}\quad \quad (4)\;\pi$

42) (سال 72) با توجه به تعریف حد کسر $\frac{1}{(x-2)^2}$ در x=2، باید x به کدام فاصله تعلق داشته باشد تا

$\frac{1}{(x-2)^2}>64$

گزینه ها:

$(1)\ (-\frac{7}{8},\frac{7}{8})\quad \quad (2)\ (-\frac{1}{8},\frac{1}{8})\quad \quad (3)\,\,(\frac{7}{8},\frac{9}{8})\quad \quad (4)\ \,(\frac{15}{8},\frac{17}{8})$

43) (سال 72) حاصل حد زیر کدام است؟

$\lim_{x\to 0^{-}}\,\frac{\cos (2x)}{\tan (x)}$

گزینه ها:

$(1)\ 0\quad \quad (2)\ -\infty\quad \quad (3)\,\,1\quad \quad (4)\ +\infty$

44) (سال 72) در تابع زیر، مقدار (f'(1)+f'(4 کدام است؟

$f(x)=|5-x\sqrt{x}|$

گزینه ها:

$(1)\ 0\quad \quad (2)\ \frac{1}{2}\quad \quad (3)\,\,\frac{3}{2}\quad \quad (4)\ 3$

45) (سال 72) کم ترین مقدار عبارت زیر، وقتی $x\in\,[\frac{9}{6},\frac{11}{6}]$ کدام است؟

$2sin^2\pi x-5sin\pi x$

گزینه ها:

$(1)\ -3\quad \quad (2)\ 2\quad \quad (3)\,\,3\quad \quad (4)\ 4$

46) (سال 72) a چه مقداری باشد تا نمودار تابع زیر به صورت خط راست موازی محور x ها درآید؟

$y=\frac{(a-1)x+1}{(a+1)x+a}$

گزینه ها:

$(1)\ 2\pm\sqrt{2}\quad \quad (2)\ 1\pm\sqrt{2}\quad \quad (3)\,\,\pm\sqrt{2}\quad \quad (4)\ -1\pm\sqrt{2}$

47) (سال 72) نمودار تابع $y=\frac{2x^2+ax+b}{x^2+x+1}$ شکل زیر است. a و b کدام اند؟

گزینه ها:

1) a>2>b
a<2=b (2
a>2=b (3
a=2=b (4

48) (سال 72) نمودار تابع $y=\frac{-1}{(x-1)^2}$ از کدام نواحی مختصات می گذرد؟

گزینه ها:

1) سوم و چهارم
2) دوم و سوم و چهارم
3) دوم وسوم
4) اول و دوم و سوم

49) (سال 72) در تابع $f(x)=\frac{1}{x}$ در نقطه ی x=1 به ازای نمو متغیر $\Delta x=0/01$ ، مقدار $\Delta y-dy$ کدام است؟

گزینه ها:

1) 0001/0
2) 0002/0
3) 00001/0
4) 00002/0

50) (سال 72) حاصل انتگرال زیر کدام است؟

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{tan(x)}{\sqrt{cos(x)}}\,dx$

گزینه ها:

$(1)\ 2\sqrt{2}-2\quad \quad (2)\ 2\sqrt{2}-1\quad \quad (3)\,\,\sqrt{2}-1\quad \quad (4)\ 2-\sqrt{2}$

24 خرداد 1387

+ نوشته شده در جمعه بیست و چهارم خرداد ۱۳۸۷ ساعت ۱۰:۱۳ ب.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی

تستهای حسابان

توضیح:

از تستهای حسابان، مباحث حد و پیوستگی و مشتق و انتگرال حذف شده اند. انشاء الله آنها را در بخش حساب دیفرانسیل و انتگرال خواهیم آورد.

موفق باشید.

1) (سال 61 و سال 65) چند جمله ای (f(x را یک بار بر x+1 و بار دیگر بر x-1 تقسیم کرده ایم. باقی مانده ها به ترتیب 1 و 3 شده اند. باقیمانده ی تقسیم (f(x بر $x^2-1$ چیست؟

گزینه ها:

$(1)\ x+3\quad \quad (2)\ x+2\quad \quad (3)\,\,2x+2\quad \quad (4)\ 2x+3$

2) (سال 62) در صورتی که برد تابع f، فاصله ی $(-\infty ,-1)$ و تابع g بر روی $(-\infty ,-1)$ با $g(x)=\frac{f(x)-1}{f(x)+1}$ تعریف شده باشد، آن گاه برد g کدام فاصله است؟

گزینه ها:

$(1)\ (-\infty ,1]\quad \quad (2)\ (-\infty ,1)\quad \quad (3)\,\,(1,+\infty )\quad \quad (4)\ [1,+\infty )$

3) (سال 67) برد تابع زیر کدام است؟

$f(x)=\left\{ \begin{align}& \frac{x}{[x]}\quad x<0 \\& 0\quad \ \ \ x\ge 0 \\ \end{align} \right.$

گزینه ها:

$(1)\ (-\infty ,0]\quad \quad (2)\ [0,1]\quad \quad (3)\,\,[0,1)\quad \quad (4)\ [0,+\infty )$

4) (سال 70) اگر باقی مانده ی عبارت $2x^{4}+mx+2$ بر x+1 برابر با 2 باشد، باقی مانده ی آن بر x-1 کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ -4\quad \quad (2)\ -6\quad \quad (3)\,\,4\quad \quad (4)\ 6$

5) (سال 70) چند جمله ای $f(x)=(x-3)^{2m}+(x-2)^{2n}-1$ بر کدام عبارت زیر بخش پذیر است؟

گزینه ها:

1) فقط بر x-3
2) فقط بر x-2
3) بر حاصل ضرب x-2 و x-3
4) هیچ کدام

6) (سال 72) اگر خارج قسمت تقسیم $5x^{3}-14x+3$ بر x-2 یک چندجمله ای باشد، مقدار آن به ازای x=-2 کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ -9\quad \quad (2)\ -4\quad \quad (3)\,\,6\quad \quad (4)\ 12$

7) (سال 73) عبارت $a^{12}+1$ بر کدام عبارت زیر همواره بخش پذیر است؟

گزینه ها:

$(1)\ a^2+1\quad \quad (2)\ a^3+1\quad \quad (3)\,\,a^4+1\quad \quad (4)\ a^6+1$

8) (سال 75) کدام شکل، نمودار یک تابع است؟

گزینه ها:

9) (سال 75) برد تابع f با ضابطه ی زیر کدام است؟

$f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-[x]}}$

گزینه ها:

$(1)\ (-\infty ,0)\quad \quad (2)\ (-\infty ,1)\quad \quad (3)\,\,[0,+\infty )\quad \quad (4)\ (1,+\infty )$

10) (سال 75) اگر توابع f و g به ترتیب 2x+1 و x-1 باشند، ضابطه ی تعریف تابع $fog^{-1}$ کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ 2x+1\quad \quad (2)\ 2x+2\quad \quad (3)\,\,2x+3\quad \quad (4)\ 2x+4$

11) (سال 75) به ازای کدام مقادیر a، عبارت $ax^2+2x+4a$ همواره نامنفی است؟

گزینه ها:

$(1)\ a\ge \frac{1}{2}\quad \quad (2)\ a\le -\frac{1}{2}\quad \quad (3)\,\,0\le a\le \frac{1}{2}\quad \quad (4)\ -\frac{1}{2}\le a\le \frac{1}{2}$

12) (سال 75) تعداد جوابهای معادله ی زیر کدام است؟

$\frac{x-2}{x+2}+\frac{x}{x-2}=\frac{8}{x^{2}-4}$

گزینه ها:

$(1)\ 0\quad \quad (2)\ 1\quad \quad (3)\,\,2\quad \quad (4)\ 3$

13) (سال 75) اگر عبارت $x^6+ax^3+bx^4+1$ بر عبارت $x^2-1$ بخش پذیر باشد، حاصل a-2b کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ 1\quad \quad (2)\ 2\quad \quad (3)\,\,3\quad \quad (4)\ 4$

14) (سال 75) باقی مانده ی تقسیم عبارت $x^4+ax^3+bx^2+1$ بر عبارت $x^2-1$ صفر است. b کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ -3\quad \quad (2)\ -2\quad \quad (3)\,\,0\quad \quad (4)\ 3$

15) (سال 76) کدام تابع یک به یک است؟

گزینه ها:

$(1)\ y=|x|\quad \quad (2)\ y=x^{2}\quad \quad (3)\,y=\,\left\{ \begin{align}& x\quad \,\,\,x>0 \\& x^{2}\quad x\le 0 \\ \end{align} \right.\quad \quad (4)\ y=\left\{ \begin{align}& -x\quad x>0 \\& x^{2}\,\quad x\le 0 \\ \end{align} \right$

16) (سال 76) نمودار تابع زوج نسبت به .......... تقارن دارد.

گزینه ها:

1) محور x ها
2) محور y ها
3) نیم ساز ناحیه ی اول و سوم
4) نیم ساز ناحیه ی دوم و چهارم

17) (سال 76) حاصل ضرب دو عدد طبیعی متوالی از 5 برابر عدد کوچک تر، 32 واحد بیش تر است. مجموع آن دو عدد کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ 21\quad \quad (2)\ 19\quad \quad (3)\,\,17\quad \quad (4)\ 15$

18) (سال 76) طول اضلاع مثلث قائم الزاویه ای 2x+1 و 2x-1 و x است که x عددی بزرگ تر از 1 است. طول ضلع متوسط کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ 13\quad \quad (2)\ 15\quad \quad (3)\,\,17\quad \quad (4)\ 19$

19) (سال 77) برد تابع با ضابطه ی $y=sqrt{1-x^2}$ کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ \mathbb{R}\quad \quad (2)\ \mathbb{R}^{+}\quad \quad (3)\,\,[0,1]\quad \quad (4)\ [-1,1]$

20) (سال 77) برد تابع f با ضابطه ی $f(x)=\frac{1+x^2}{2x}$ کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ [-1,1]\quad \quad (2)\ (-1,1)\quad \quad (3)\,\,\mathbb{R}-(-1,1)\quad \quad (4)\ \mathbb{R}-[-1,1]$

21) (سال 77) اگر (y=f(x یک تابع خطی گذرنده از $(0,a)$ و $(a,0)$ باشد (a عددی ناصفر است)، ضابطه ی (fof(x کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ 0\quad \quad (2)\ x\quad \quad (3)\,\,f(x)\quad \quad (4)\ x+2a$

22) (سال 78) اگر تابع زیر، یک به یک باشد، a کدام است؟

$\{(-2,2),(m,3),(-1,3),(2m,a)\}$

گزینه ها:

$(1)\ -2\quad \quad (2)\ -1\quad \quad (3)\,\,1\quad \quad (4)\ 2$

23) (سال 78) فرض کنید توابع f و g با ضابطه های زیر باشند:

$f(x)=x^2+(A-1)x,\,\,\,g(x)=(B+2)x^2+sin(x)$

اگر f زوج و g فرد باشد، A+B کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ -2\quad \quad (2)\ -1\quad \quad (3)\,\,1\quad \quad (4)\ 2$

24) (سال 78) به ازای کدام مقدار m، معادله ی درجه دوم زیر، دو ریشه ی حقیقی و معکوس هم دارد؟

$mx^2+5x+m^2-6=0.$

گزینه ها:

$(1)\ -3\quad \quad (2)\ -2\quad \quad (3)\,\,2\quad \quad (4)\ 3$

25) (سال 79) دو تابع زیر را در نظر بگیرید. برد gof کدام است؟

$f(x)=\sqrt{x},\,\,\,g(x)=\frac{2-x}{1+x}$

گزینه ها:

$(1)\ (-1,2]\quad \quad (2)\ [-1,1]\quad \quad (3)\,\,[0,+\infty)\quad \quad (4) [2,+\infty)$

26) (سال 79) تابع معکوس پذیر f بر روی تمام اعداد حقیقی تعریف شده است. تابع با ضابطه زیر چگونه است؟

$f(-x)+f(x)$

گزینه ها:

1) متناوب
2) معکوس ناپذیر
3) یکنوا
4) یک به یک

27) (سال 79) به ازای کدام مقدار m، در معادله ی درجه ی دوم زیر، یکی از ریشه ها دو برابر ریشه ی دیگر است؟

$(m+1)x^2+3x+m=0$

گزینه ها:

$(1)\ 3,-2\quad \quad (2)\ -3,2\quad \quad (3)\,\,-1,2\quad \quad (4)\ 1,-2$

28) (سال 80)دوره ی تناوب اصلی تابع زیر کدام است؟

$f(x)=\left\{ \begin{align}& \sin ^{2}(\frac{\pi }{2}x)\quad x\in \mathbb{Q} \\& 0\quad \quad \quad\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\ x\notin \mathbb{Q} \\ \end{align} \right.$

گزینه ها:

$(1)\ 2\pi\quad \quad (2)\ 2\quad \quad (3)\,\,4\pi\quad \quad (4)\ 4$

29) (سال 80) باقی مانده ی تقسیم عبارت زیر، بر x+1 برابر 4 است. a کدام است؟

$x^4-ax^3+x^2+2ax+1$

گزینه ها:

$(1)\ -4\quad \quad (2)\ -1\quad \quad (3)\,\,1\quad \quad (4)\ 4$

30) (سال 81) به ازای کدام مقدار a، تابع زیر، زوج است؟

$f(x)=|x+2|+a|x-2|$

گزینه ها:

$(1)\ -1\quad \quad (2)\ 0\quad \quad (3)\,\,1\quad \quad (4)\ 2$

31) (سال 81) اگر $g(x)=x^2,\,\,\,f(x)=1+\sqrt{x}$ و x عددی مثبت باشد، آن گاه ضابطه ی $g^{-1}of^{-1}$ کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ x-1\quad \quad (2)\ x+1\quad \quad (3)\,\,x^2-1\quad \quad (4)\ x^2+1$

32) (سال 82) با توجه به ماشین زیر، اگر $f(x)=2x-1$ آن گاه (g(0 کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ 1\quad \quad (2)\ 0\quad \quad (3)\,\,\frac{1}{2}\quad \quad (4)\ 2$

33) (سال 82) تابع فرد f معکوس پذیر است. نمودار تابع $f^{-1}$ نسبت به کدام مورد متقارن است؟

گزینه ها:

1) مبدأ مختصات
2) محور x ها
3) محور y ها
4) نیم ساز ناحیه ی اول و سوم

34) (سال 82) در معادله ی زیر، یکی از ریشه ها دو واحد از ریشه ی دیگر بیش تر است. m کدام است؟

$3x^2-15x+m=0$

گزینه ها:

$(1)\ \frac{59}{5}\quad \quad (2)\ \frac{63}{5}\quad \quad (3)\,\,\frac{59}{4}\quad \quad (4)\ \frac{63}{4}$

35) (سال 82) حاصل عبارت زیر، به ازای $x=\sqrt{2}$ کدام است؟

$(1+x+x^2+\cdots +x^8)(1-x+x^2-\cdots +x^8)$

گزینه ها:

$(1)\ 507\quad \quad (2)\ 511\quad \quad (3)\,\, 512\quad \quad (4)\ 516$

36) (سال 83) اگر $f(x)=x+\sqrt{x^2+1}$ ضابطه ی $f^{-1}(x)$ به طور دقیق برابر کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ \frac{1}{2}(x-\frac{1}{x});\ x\in \mathbb{R}\quad \quad (2)\ \frac{1}{2}(\frac{1}{x}-x);\ x\in \mathbb{R}\quad \quad (3)\,\,\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x});\ x>0\quad \quad (4)\ \frac{1}{2}(\frac{1}{x}-x);\ x>0$

37) (سال 83) اگر $f(x)=x^2-1$ نمودار $y=fof(x)$ با محور x ها کدام وضعیت را دارد؟

گزینه ها:

1) یک نقطه ی تلاقی-دو نقطه ی تماس
2) دو نقطه ی تلاقی-یک نقطه ی تماس
3) سه نقطه ی تلاقی-فاقد نقطه ی تماس
4) فاقد نقطه ی تلاقی-دو نقطه ی تماس

38) (سال 84) به ازای کدام مقدار m، عدد $\frac{1}{8}$ واسطه ی عددی بین دو ریشه ی حقیقی معادله ی زیر است؟

$(m^2-4)x^2-3x+m=0$

گزینه ها:

$(1)\ 3\quad \quad (2)\ -3\quad \quad (3)\,\, 4\quad \quad (4)\ -4$

+ نوشته شده در جمعه ششم اردیبهشت ۱۳۸۷ ساعت ۹:۱۶ ق.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی

تستهای تصاعد

1) (سال 73) در یک تصاعد هندسی $S_{6}=\frac{19}{27}S_{3}$ .قدر نسبت کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ -\frac{4}{3}\quad \quad (2)\ -\frac{2}{3}\quad \quad (3)\,\,\frac{2}{3}\quad \quad (4)\ \frac{3}{4}$

2) (سال 75) در یک تصاعد هندسی نزولی نامحدود، جمله ی اول برابر با نصف مجموع جملات بعدی است. جمله ی اول چند برابر جمله ی سوم است؟

گزینه ها:

$(1)\ \frac{9}{4}\quad \quad (2)\ \frac{3}{4}\quad \quad (3)\,\,\frac{9}{2}\quad \quad (4)\ \frac{3}{2}$

3) (سال 76) مجموع n جمله ی اول یک تصاعد عددی $S_{n}=an^{2}+bn$ است. قدر نسبت این تصاعد کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ -2a\quad \quad (2)\ 2b\quad \quad (3)\,\,-2b\quad \quad (4)\ 2a$

4) (سال 81) اگر جملات چهارم، ششم و دوازدهم یک تصاعد حسابی، به ترتیب سه جمله ی متوالی از یک تصاعد هندسی باشند، قدر نسبت تصاعد هندسی کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ \frac{4}{3}\quad \quad (2)\ \frac{3}{2}\quad \quad (3)\,\,2\quad \quad (4)\ 3$

5) (سال 84) اعداد 5p-1 و 3p+4 و 2p+3 سه جمله ی متوالی یک تصاعد عددی هستند. قدر نسبت این تصاعد کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ 4\quad \quad (2)\ 5\quad \quad (3)\,\,6\quad \quad (4)\ 7$

+ نوشته شده در جمعه بیست و سوم فروردین ۱۳۸۷ ساعت ۹:۱۱ ب.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی

تستهای لگاریتم

1) (سال 75) از تساوی زیر مقدار x کدام است؟

$\log _{9}(x-4)=1-\log _{3}2$

گزینه ها:

$(1)\ 6.25\quad \quad (2)\ 6.5\quad \quad (3)\,\,6.75\quad \quad (4)\ 7.5$

2) (سال 77) با فرض log2=a ، مقدار log1.25 کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ 1-3a\quad \quad (2)\ 2-3a\quad \quad (3)\,\,3a-1\quad \quad (4)\ 3a-2$

3) (سال 77) اگر $\log _{x}\sqrt{7}=-\frac{1}{2}$ آن گاه $\log _{2}(1+\frac{1}{x})$ کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ -3\quad \quad (2)\ -2\quad \quad (3)\,\,2\quad \quad (4)\ 3$

4) (سال 78) حاصل $\log _{8}(\frac{\sqrt{2}}{4})$ برابر است با:

گزینه ها:

$(1)\ \frac{-3}{2}\quad \quad (2)\ \frac{-3}{4}\quad \quad (3)\,\,\frac{-1}{4}\quad \quad (4)\ -\frac{1}{2}$

5) (سال 78) لگاریتم عددی در مبنای a برابر b است. لگاریتم این عدد در کدام مبنا برابر یک سوم b است؟

گزینه ها:

$(1)\ a^{3}\quad \quad (2)\ 3a\quad \quad (3)\,\,\sqrt[3]{a}\quad \quad (4)\ \frac{a}{3}$

6) (سال 79) لگاریتم عددی در پایه ی 9 از لگاریتم عکس مربع آن عدد در پایه ی 9 به اندازه ی 4.5 واحد بیش تر است. آن عدد کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ 81\quad \quad (2)\ 36\quad \quad (3)\,\,27\quad \quad (4)\ 18$

7) (سال 81) اگر $\log _{2}(\sqrt[5]{e^{2}})=A$ حاصل $\log _{\sqrt{e}}(32)$ کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ \frac{A}{4}\quad \quad (2)\ \frac{A}{2}\quad \quad (3)\,\,\frac{2}{A}\quad \quad (4)\ \frac{4}{A}$

8) (سال 82) حاصل $\log _{5}(\sqrt{125})^{3}$ کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ 4\quad \quad (2)\ 4.5\quad \quad (3)\,\,5\quad \quad (4)\ 5.5$

9) (سال 84) از معادله ی زیر مقدار $\log _{8}x$ کدام است؟

$\log (2x-1)+\log (x+3)=\log 30-\log 2$

گزینه ها:

$(1)\ -\frac{1}{2}\quad \quad (2)\ \frac{1}{3}\quad \quad (3)\,\,\frac{2}{3}\quad \quad (4)\ \frac{3}{2}$

+ نوشته شده در جمعه بیست و سوم فروردین ۱۳۸۷ ساعت ۹:۷ ب.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی

تستهای مثلثات

1) (سال 70) حاصل عبارت زیر چند است؟

$Arc\tan (\frac{1}{3}) + Arc\tan (\frac{1}{2})$

گزینه ها:

$(1)\;\frac{\pi }{2}\quad \quad (2)\;\,\frac{\pi }{4}\quad \quad (3)\,\,\frac{{3\pi }}{4}\quad \quad (4)\;\frac{{5\pi }}{4}$

2) (سال 71) مقدار عبارت زیر کدام است؟

$2\cos (2Arc\tan ( - \sqrt 3 )) + \sqrt 3 \tan (\frac{1}{2}Arc\cos ( - \frac{1}{2}))$

گزینه ها:

$(1)\;2\quad \quad (2)\;\,4\quad \quad (3)\,\, - 2\quad \quad (4)\; - 4$

3) (سال 75) اگر تساوی زیر برقرار باشد، آلفا را بیابید.

$\tan (\frac{{3\pi }}{2} - x) = \cot (\alpha+ x)$

گزینه ها:

$(1)\;\frac{{ - \pi }}{2}\quad \quad (2)\;\,\frac{\pi }{2}\quad \quad (3)\,\,\pi \quad \quad (4)\;\frac{{3\pi }}{2}$

4) (سال 75) حاصل عبارت زیر کدام است؟

$\frac{{\sin (10x) - \sin (6x)}}{{\cos (10x) + \cos (6x)}}$

گزینه ها:

$(1)\;\tan (2x)\quad \quad (2)\;\,\cot (2x)\quad \quad (3)\,\,\tan (4x)\quad \quad (4)\;\cot (4x)$

5) (سال 75)جواب کلی معادله ی زیر کدام است؟

$\cos (3x)\cos (x) = \cos ^2 x$

گزینه ها:

$(1)\ \frac{k\pi }{2}\quad \quad (2)\ \,k\pi \quad \quad (3)\,k\pi +\frac{\pi }{2}\quad \quad (4)\ 2k\pi \pm \frac{\pi }{2}$

6) (سال 75) نقاط پایانی جوابهای معادله ی زیر بر روی دایره ی مثلثاتی، راس های کدام چند ضلعی است؟

$(1+\sqrt{3})\sin ^{2}(x)+(1-\sqrt{3})\sin (x)\cos (x)=\sqrt{3}$

گزینه ها:

(1) مربع (2) مستطیل (3) چهار ضلعی غیر مشخص (4) ذوزنقه

7) (سال 76) اگر تساوی های زیر برقرار باشد، مقدار tan 2b چیست؟

$\tan (a+b)=5,\ \tan (a-b)=2$

گزینه ها:

$(1)\ \frac{7}{3}\quad \quad (2)\ \,\frac{-2}{7}\quad \quad (3)\,\,\frac{3}{11}\quad \quad (4)\ \frac{2}{7}$

8) (سال 76) حاصل عبارت زیر کدام است؟

$\sqrt{2}\left( \sin (x+\frac{\pi }{4})+\cos (x+\frac{\pi }{4}) \right)$

گزینه ها:

$(1)\ 2\cos (x)\quad \quad (2)\ \,2\sin (x)\quad \quad (3)\,\,\sin (x)\quad \quad (4)\ \cos (x)$

9) (سال 77) فرض کنید:

$\frac{3\pi }{4}<\alpha <\pi ,\ \tan (\alpha )=\frac{2}{m-1}$

حدود تغییرات m کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ m<-1\quad \quad (2)\ \,m<1\quad \quad (3)\,-1<m<1\quad (4)\ -2<m<-1$

10) (سال77) جواب کلی معادله ی مثلثاتی زیر کدام است:

$\sin (3x)+\sin (x)=4\sin (x)\cos (x)$

گزینه ها:

$(1)\ \frac{k\pi }{2}\quad \quad (2)\ \,\frac{k\pi }{4}\quad \quad (3)\ k\,\pi \pm \frac{\pi }{2}\quad \quad (4)\ (2k+1)\frac{\pi }{4}$

11) (سال 77) حاصل عبارت زیر کدام است؟

$\sin \left( \frac{3}{4}Arc\cot (\frac{-\sqrt{3}}{3}) \right)+\cos \left( 2Arc\tan (\sqrt{3}) \right)$

گزینه ها:

$(1)\ \frac{-1}{2}\quad \quad (2)\ \,\frac{1}{2}\quad \quad (3)\,\,\frac{3}{4}\quad \quad (4)\ \frac{3}{2}$

12) (سال 78) خلاصه شده ی عبارت زیر کدام است؟

$\tan (20^{\circ })\left( 1+\cos (40^{\circ }) \right)$

گزینه ها:

$(1)\ \sin (20^{\circ })\quad \quad (2)\ \,\sin (40^{\circ })\quad \quad (3)\,\,\cos (20^{\circ })\quad \quad (4)\ \cos (40^{\circ })$

13) (سال 78)حاصل عبارت زیر کدام است؟

$\cos (40^{\circ })\left( 2\cos (80^{\circ })-1 \right)$

گزینه ها:

$(1)\ \frac{-1}{2}\quad \quad (2)\ -\sin (20^{\circ })\quad \quad (3)\,\,\frac{1}{2}\quad \quad (4)\ \sin (40^{\circ })$

14)(سال 78) حاصل عبارت زیر برابر کدام است؟

$\frac{\sin (x)\cos (3x)}{\sin (2x)}-\cos (2x)$

گزینه ها:

$(1)\ \frac{1}{2}\quad \quad (2)\ \cos (x)\quad \quad (3)\,\,\sin (x)\quad \quad (4)\ \frac{-1}{2}$

15) (سال 79) حاصل عبارت زیر به ازای x=7.5 درجه، برابر کدام است؟

$\sin (x)\cos (x)(1-2\sin ^{2}(x))$

گزینه ها:

$(1)\ \frac{1}{4}\quad \quad (2)\ \frac{1}{8}\quad \quad (3)\,\,\frac{3}{8}\quad \quad (4)\ \frac{3}{16}$

16) (سال 79) حاصل عبارت زیر کدام است؟

$\left( \sin (\frac{\pi }{8})-\cos (\frac{\pi }{8}) \right)^{2}-\left( \sin (\frac{\pi }{8})+\cos (\frac{\pi }{8}) \right)^{2}$

گزینه ها:

$(1)\ -\sqrt{2}\quad \quad (2)\ \sqrt{2}\quad \quad (3)\,\,2\quad \quad (4)\ -2$

17) (سال 79) جواب کلی معادله ی زیر کدام است؟

$\sin (3x)+\sin (x)=0$

گزینه ها:

$(1)\ \frac{k\pi }{2}\quad \quad (2)\ \,k\pi \quad \quad (3)\ k\,\pi +\frac{\pi }{2}\quad \quad (4)\ 2k\pi +\frac{\pi }{2}$

18) (سال 80) اگر داشته باشیم tan2x+cot2x=4، آن گاه حاصل sin4x چه قدر است؟

گزینه ها:

$(1)\ 2\quad \quad (2)\ \frac{1}{2}\quad \quad (3)\,\,-2\quad \quad (4)\ -\frac{1}{2}$

19) (سال 80) حاصل tana+tanb چیست، به شرطی که داشته باشیم:

$a+b=\frac{\pi }{2}-a$

گزینه ها:

$(1)\ \sin (b)\quad \quad (2)\ \,\cos (a)\quad \quad (3)\,\,\frac{1}{\sin (a)}\quad \quad (4)\ \frac{1}{\cos (b)}$

20) (سال 80) مجموع جوابهای معادله ی زیر در فاصله ی مشخص شده کدام است؟

$2\sin ^{2}(x)-\cos (x)-1=0\quad (\pi \le x\le 2\pi )$

گزینه ها:

$(1)\ \frac{8\pi }{3}\quad \quad (2)\ \,\frac{10\pi }{3}\quad \quad (3)\ 3\pi \quad \quad (4)\ \frac{11\pi }{3}$

21) (سال 81) ساده شده ی عبارت زیر کدام است؟

$2\cos (\frac{\pi }{4}+\alpha )\sin (\frac{\pi }{4}-\alpha )$

گزینه ها:

$(1)\ \cos (\alpha )-\sin (\alpha )\quad \quad (2)\ \,\cos (2\alpha )\quad \quad (3)\,\,1+\sin (2\alpha )\quad \quad (4)\ 1-\sin (2\alpha )$

22) (سال 81) جواب کلی معادله ی زیر کدام است؟

$\sin (4x)-\sin (2x)=\sin (\frac{\pi }{2}+3x)$

گزینه ها:

$(1)\ \frac{k\pi }{6}\quad \quad (2)\ \,\frac{k\pi }{3}\quad \quad (3)\ \frac{k\pi }{2}-\frac{\pi }{3}\quad \quad (4)\ \frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{6}$

23) (سال 82) حاصل عبارت زیر کدام است؟

$\cos (165^{\circ })\cos (105^{\circ })$

گزینه ها:

$(1)\ -\frac{1}{2}\quad \quad (2)\ \frac{-1}{4}\quad \quad (3)\,\,\frac{1}{4}\quad \quad (4)\ \frac{1}{2}$

24) (سال 82) جواب کلی معادله ی مثلثاتی زیر به کدام صورت است؟

$\frac{\sin (3x)+\sin (x)}{\sin (x)}=1$

گزینه ها:

$(1)\ \frac{k\pi }{3}\quad \quad (2)\ \,k\pi +\frac{\pi }{3}\quad \quad (3)\ k\pi \pm \frac{\pi }{3}\quad \quad (4)\ 2k\pi \pm \frac{\pi }{3}$

25) (سال 83) اگر مجموع زوایای a و b برابر با 45 درجه باشد، حاصل عبارت زیر کدام است؟

$8\cos (a)\cos (b)\cos (90^{\circ }-a)\cos (90^{\circ }-b)$

گزینه ها:

$(1)\ \sin (4a)\quad \quad (2)\ \,\cos (4a)\quad \quad (3)\,\,\sin ^{2}(2a)\quad \quad (4)\ \cos ^{2}(2a)$

26) (سال 83) جوابهای کلی معادله ی مثلثاتی cos2x=sinx به صورت زیر بیان شده است؛ مجموعه ی مقادیر i کدام است:

$x=2k\pi +\frac{i\pi }{6}$

گزینه ها:

$(1)\ \{7,9\}\quad \quad (2)\ \{1,3,5\}\quad \quad (3)\,\,\{1,4,7\}\quad \quad (4)\ \{1,5,9\}$

27) (سال 74) عبارت زیر با کدام عبارت برابر است؟

$\sin (3x)-2\sin (4x)+\sin (5x)$

گزینه ها:

$\begin{align}& (1)\ 2\sin (4x)\sin ^{2}(\frac{x}{2})\quad \quad (2)\ \,-2\sin (4x)\sin ^{2}(\frac{x}{2}) \\& (3)\,\,4\sin (4x)\sin ^{2}(\frac{x}{2})\quad \quad (4)\ -4\sin (4x)\sin ^{2}(\frac{x}{2}) \\ \end{align}$

+ نوشته شده در چهارشنبه چهاردهم فروردین ۱۳۸۷ ساعت ۳:۴۳ ب.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی

جلسه ی پنجم (برد توابع حقیقی)

صفحه اصلی وبلاگ (آدرس جدید http://www.ep-math.coo.ir/)

فهرست مطالب آموزش حسابان

حل و بحث مسائل کتاب حسابان جدید و رفع اشکال

توجه: اگر فرمولها و تصاویر این درس دیده نمی شوند اینجا را کلیک کنید، متشکرم.

موضوع: برد توابع حقیقی

توضیح:

در میان نکات زیر، گاهی از شما خواسته می شود فعالیتی را انجام دهید، مطلبی را تعریف کنید یا به سوالی جواب دهید. سعی کنید جواب را در متن کتاب بیابید. اگر در متن کتاب جواب سوال صراحتاً بیان نشده بود، سعی کنید خودتان به سوال مطرح شده پاسخ دهید و اگر نتوانستید از معلمتان بپرسید.

تعریف برد و توضیحات مهم در این زمینه:

اگر برد تابع حقیقی f به طور صریح داده نشده و تنها ضابطه ی آن در دست باشد، منظور ما از جمله ی «برد تابع f را بیابید»، عبارت است از

«یافتن همه ی خروجی های (f(x که در اینجا x عضوی از دامنه ی f است»، به طور دقیق تر برای محاسبه ی برد تابع f باید مجموعه ی L141 را محاسبه کنیم.

این تعریف نیز همانند تعریف دامنه، بسیار کلی است و قانونی همیشگی برای محاسبه ی برد همه ی توابع وجود ندارد. معمولاً یافتن برد یک تابع، حتی از محاسبه ی دامنه ی آن نیز مشکلتر است و گاهی احتیاج به محاسبات طولانی و نیز داشتن تجربه ی کافی در استفاده از قضایا و فرمولهای ریاضی دارد. ما فقط به چند مثال کلی بسنده می کنیم.

نکات اصلی:

برد توابع چند جمله ای درجه ی 2:

برای یافتن برد تابع $L147$ (که x عددی حقیقی و a عددی مخالف صفر است)، کافی است عرض راس سهمی را به دست بیاوریم.می توان ثابت کرد که این عدد برابر است با (ثابت کنید). اگر آنگاه و اگر آنگاه . به تصاویر زیر توجه کنید:

به طور مثال برد تابع برابر است با زیرا با توجه به نکات بالا .
توابع چند جمله ای درجه ی فرد:

اگر دامنه ی توابع چند جمله ای درجه ی فرد را R در نظر بگیریم (نه دامنه ای محدود)، آنگاه می توان ثابت کرد که برد نیز R است. (در واقع علت اصلی آن پیوستگی این توابع است که بعدها در دوره ی پیش دانشگاهی به وسیله ی قضیه ی مقدار میانگین اثبات می شود.) به عنوان مثال برد تابع برابر است با R .
توابعی که می توان به وسیله ی آنها x را بر حسب y محاسبه کرد:

فرض کنید تابع (y=f(x را بتوان به صورت(x=g(y نوشت؛ یعنی x را بر حسب y محاسبه کرد. در اینصورت دامنه ی تابع جدید، برد تابع اصلی است. به مثالهای زیر توجه کنید:

الف) برای یافتن برد تابع f با ضابطه ی  اعمال زیر را انجام می دهیم:

بنابر این .

به شکل این تابع توجه و سعی کنید برد را فقط به وسیله ی شکل به دست آورید :

نکته: با همین روش ثابت کنید که اگر ، آنگاه .

ب) برد تابع

ابتدا توجه کنید که . (دقت کنید که اگر قرار دهیم ، آنگاه y=0.) می توان نوشت: . در نتیجه . چون دامنه ی تابع برابر است با R و چون ، بنابر این برد تابع  با  برابر خواهد بود.

به شکل این تابع توجه و سعی کنید برد را فقط به وسیله ی شکل به دست آورید :

ج) برد تابع

باتوجه به این نکته که طرفین مثبت هستند، می توان نوشت:

در عبارت آخر، زیر رادیکال باید نامنفی باشد و لذا . اما y>0 ، در نتیجه برد تابع f برابر است با .

به شکل این تابع توجه و سعی کنید برد را فقط به وسیله ی شکل به دست آورید :

د) برد تابع

روش اول:

به عبارت زیر توجه کنید:

عبارت سمت راست یک معادله درجه ی 2 بر حسب x است. حال با توجه به دلتای این معادله، برای اینکه این معادله جواب داشته باشد باید  و لذا ؛ در نتیجه خواهیم داشت: . (توجه کنید که اگر x=-1 آنگاه y=1 و اگر x=1 آنگاه y=-1.)

روش دوم:

با استفاده از اتحاد مربع دوجمله ای، می توان ثابت کرد که

بنابر این و لذا .

به شکل این تابع توجه و سعی کنید برد را فقط به وسیله ی شکل به دست آورید :

ه) برد تابع

می توان نوشت:

عبارت آخر یک معادله درجه ی 2 بر حسب x است. حال با توجه به دلتای این معادله، برای اینکه این معادله جواب داشته باشد باید  . بنابراین خواهیم داشت: . (روش دیگر برای پیدا کردن برد این تابع، استفاده از مشتق است که به آن نمی پردازیم.)

به شکل این تابع توجه و سعی کنید برد را فقط به وسیله ی شکل به دست آورید :

نکته: مطلب بالا نشان می دهد که کمترین مقدار خروجی این تابع برابر است با . توجه کنید که اگر ، آنگاه .
توابع مثلثاتی:

برد توابع (sin(x و (cos(x برابر است با و برد توابع (tan(x و (cot(x برابر است با R. (چرا؟)

به مثالهای زیر توجه کنید:

الف) برد تابع

می توان نوشت: . چون  بنابر این  و در نتیجه برای هر خواهیم داشت ، پس .

ب) برد تابع

در بخشهای بعدی حسابان خواهید دید که . اما بنابر نکته ی 4 می توان نوشت: ، در نتیجه ، پس . (توجه کنید که در این مثال و بعضی مثالهای بالا، به طور مخفیانه از قضیه ی مقدار میانگین استفاده شده است که این قضیه را در پیش دانشگاهی خواهید دید.)

نکته ی مهم: ممکن است بعضی از دانش آموزان اینگونه استدلال کنند که چون  و ، بنابر این  و در نتیجه .
این استدلال درست نیست، زیرا برای هیچ x ی  برابر با 2 یا 2- نیست و لذا (دقت کنید)! در واقع به وسیله ی استدلال بالا فقط می توان نتیجه گرفت که. همین ریزه کاریهاست که محاسبه ی برد بعضی از توابع را مشکل می کند.

به شکل این تابع توجه و سعی کنید برد را فقط به وسیله ی شکل به دست آورید :
تابع جزءصحیح:

برد تابع جزءصحیح برابراست با . در حالت کلی برد تابع  زیر مجموعه ای از  است؛ اما فرمولی کلی برای محاسبه ی برد اینگونه توابع وجود ندارد.

به مثالهای زیر توجه کنید:

الف) برد تابع

صورت و مخرج کسر   همواره مثبت و صورت کسر از مخرج آن کمتر است. بنابر این  و درنتیجه بنابر خواص جزءصحیح برای هر ، 0=(f(x و لذا باید برد تابع f مجموعه ی تک عنصری {0} باشد.

ب) برد تابع .

می توان دید . چون  بنابر این . در نتیجه .

ج) برد تابع

روش محاسبه ی برد این تابع به راحتی به دست نمی آید. برای حدس زدن جواب درست، بد نیست که به شکل متوسل شویم و از آن برای استدلال درست استفاده کنیم. به شکل این تابع توجه کنید:

حال با کمک شکل، می توان جواب را حدس زد و آن را به وسیله ی استدلال استنتاجی اثبات کرد. اگر دوست دارید روش به دست آوردن برد را بدانید، اینجا را کلیک کنید.

23 شهریور 1386

+ نوشته شده در سه شنبه سی ام مرداد ۱۳۸۶ ساعت ۶:۴ ب.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی

جلسه چهارم (دامنه ی توابع حقیقی)

صفحه اصلی وبلاگ (آدرس جدید http://www.ep-math.coo.ir/)

فهرست مطالب آموزش حسابان

حل و بحث مسائل کتاب حسابان جدید و رفع اشکال

موضوع: دامنه ی توابع حقیقی

توضیح:

در میان نکات زیر، گاهی از شما خواسته می شود فعالیتی را انجام دهید، مطلبی را تعریف کنید یا به سوالی جواب دهید. سعی کنید جواب را در متن کتاب بیابید. اگر در متن کتاب جواب سوال صراحتاً بیان نشده بود، سعی کنید خودتان به سوال مطرح شده پاسخ دهید و اگر نتوانستید از معلمتان بپرسید.

تعریف دامنه و توضیحات مهم در این زمینه:

اگر دامنه ی تابع حقیقی f به طور صریح داده نشده باشد و تنها ضابطه ی آن در دست باشد، منظور ما از جمله ی «دامنه ی تابع f را بیابید»، عبارت است از

«یافتن بزرگترین زیر مجمو عه ی R که برای هر x از آن مجموعه، (f(x عددی حقیقی باشد»، یعنی

0610 .

با توجه به گستردگی تعریف بالا، هیچ راه کلی و قانون عمومی برای یافتن دامنه ی همه ی توابع وجود ندارد. در این جلسه، توابع مهم را در چند دسته خدمتتان معرفی می کنیم و برای درک بیشتر، از هر کدام مثالهایی خواهیم آورد. البته ممکن است با بعضی توابع در دسته بندی زیر آشنا نباشید. اگر به چنین مواردی برخوردید از مطالعه ی آن صرف نظر کنید؛ در جلسات بعدی آنها را معرفی خواهیم کرد.

نکات اصلی:

چند جمله ایها:

اگر f چند جمله ای باشد، در این صورت دامنه ی آن R خواهد بود. به طور دقیق تر اگر

آنگاه برای هر ، مقدار خروجی (f(x نیز عددی حقیقی است و لذا . به عنوان مثال دامنه ی همه ی 5 تابع زیر R است:

(توجه کنید که اولین تابع در مثال بالا که تابع ثابت 1 است، نیز یک چند جمله ای است. هر عدد حقیقی را یک چند جمله ای در نظر خواهیم گرفت.)
توابع کسری

برای یافتن دامنه ی توابع کسری، مراحل کلی زیر را انجام می دهیم:

- دامنه ی صورت و مخرج را جداگانه محاسبه می کنیم.

- اشتراک دامنه ی صورت و مخرج را به دست می آوریم.

- اگر اعدادی که مخرج کسر را صفر می کنند وجود داشته باشند (ریشه های مخرج) آنها را از اشتراک به دست آمده در مرحله ی قبل حذف می کنیم تا دامنه ی تابع اصلی به دست آید.

توضیح: در جلسات بعد، به این سوال پاسخ خواهیم داد که چرا باید مراحل بالا را برای به دست آوردن دامنه ی توابع کسری انجام دهیم.

حال برای تمرین بیشتر، دامنه ی چند تابع کسری را به دست می آوریم.

الف)

بنابر نکته ی 1، دامنه ی صورت و مخرج هر دو R است. بنابر این اشتراک دامنه های صورت و مخرج نیز R خواهد بود. حال چون x=1 تنها ریشه ی مخرج است، لذا خواهیم داشت:

ب)

دامنه ی صورت و مخرج هر دو R است. بنابر این اشتراک دامنه های صورت و مخرج نیز R خواهد بود. حال چون x=2 و x=3 دو ریشه ی مخرج هستند، لذا خواهیم داشت:

ج)

دامنه ی صورت و مخرج هر دو R است. بنابر این اشتراک دامنه های صورت و مخرج نیز R خواهد بود. حال چون مخرج ریشه ندارد، لذا دامنه ی تابع h همان R است.

د)

دامنه ی صورت در قسمت (ب) به دست آمد. دامنه ی مخرج نیز بنابر نکته ی 1 برابر است با R. پس اشتراک دامنه ها برابر است با . اما x=-1 تنها ریشه مخرج است، در نتیجه .

توجه: در مثال (د) نمی توان بدون دقت به اصطلاح با دور به دور-نزدیک به نزدیک کردن، تابع را ساده و سپس دامنه را محاسبه کرد، به طور دقیق تر، تابع مثال (د) با تابع برابر نیست. (چرا؟)
توابع رادیکالی با ریشه ی زوج:

برای یافتن دامنه ی توابع رادیکالی با ریشه ی زوج، مراحل کلی زیر را انجام می دهیم:

- دامنه ی تابع داخل رادیکال را محاسبه می کنیم.

- تابع داخل رادیکال را تعیین علامت می کنیم، یعنی مجموعه ی همه اعدادی را به دست می آوریم که برای هر عدد از آن مجموعه، عبارت داخل رادیکال، نامنفی (برزگتر یا مساوی صفر) شود .

- اشتراک دو مجموعه ی به دست آمده از مراحل بالا را محاسبه می کنیم، تا دامنه ی تابع اصلی به دست آید.

حال برای تمرین بیشتر، به چند مثال زیر توجه کنید:

الف)

دامنه ی تابع زیر رادیکال، R است. اگر عبارت زیر رادیکال را تعیین علامت کنیم(به همان روشهایی که در فصل اول ریاضی 2 آموختیم)، نتیجه خواهیم گرفت که مجموعه ی همه اعدادی که عبارت داخل رادیکال را نامنفی می کند عبارت است از . بنابر این با محاسبه ی اشتراک R و نتیجه می شود: .

ب)

بنابر نکته ی 1، دامنه ی تابع زیر رادیکال، R است. اگر عبارت زیر رادیکال را تعیین علامت کنیم(به همان روشهایی که در فصل اول ریاضی 2 برای تعیین علامت عبارات درجه ی 2 آموخته ایم)، نتیجه می شود که مجموعه ی همه اعدادی که عبارت داخل رادیکال را نامنفی می کند عبارت است از . با محاسبه ی اشتراک R و نتیجه می شود:

ج)

دامنه ی عبارت داخل رادیکال است. با تعیین علامت تابع زیر رادیکال، مجموعه ی همه اعدادی که این تابع را نامنفی می کند عبارت است از . حال با اشتراک و نتیجه می شود: .
توابع رادیکالی با ریشه ی فرد:

برای یافتن دامنه ی توابع رادیکالی با ریشه ی فرد، فقط کافی است دامنه ی تابع زیر رادیکال را به دست آوریم تا دامنه ی تابع اصلی به دست آید. (چرا؟) به طور مثال دامنه ی تابع با دامنه ی تابع برابر است و در نتیجه دامنه ی f برابر است با .
تابع قدر مطلق:

دامنه ی تابع به وضوح R است. در حالت کلی، دامنه ی(قدر مطلق (g(x ) برابر است با دامنه ی تابع (g(x . به طور مثال دامنه ی تابع ( قدر مطلق ) با دامنه ی تابع ، یعنی ، برابر است.
تابع جزء صحیح:

دامنه ی تابع برابر است با R . در حالت کلی، دامنه (جزء صحیح (h(x ) برابر است با دامنه ی تابع (h(x . به طور مثال دامنه ی تابع ( جزء صحیح ) با دامنه ی تابع ، یعنی ، برابر است.
تابع لگاریتم:

دامنه ی تابع برابر است با اعداد حقیقی مثبت. (توجه کنید که a عددی مثبت و مخالف 1 است.) در حالت کلی، دامنه ( a عددی مثبت و مخالف 1 ) برابر است با . به دو مثال زیر توجه کنید:

الف)

با توجه به نکته ی بالا، دامنه ی این تابع، x هایی در دامنه ی است که به ازای آن x ها داشته باشیم . چون دامنه ی تابع ، همان R است، لذا با تعیین علامت تابع خواهیم داشت: .

ب)

پایه ی لگاریتم باید مثبت و مخالف ۱ باشد؛ در نتیجه x باید در تغییر کند. از طرف دیگر عبارت روبروی لگاریتم نیز باید عددی مثبت باشد (این عبارت را تعیین علامت کنید). بنابر این .
تابع نمایی:

دامنه ی تابع برابر است با R (توجه کنید که a عددی مثبت و مخالف 1 است). در حالت کلی، دامنه (a به توان (g(x ) برابر است با دامنه ی تابع (g(x . به طور مثال دامنه ی تابع ( 2 به توان ) با دامنه ی تابع ، یعنی ، برابر است.
توابع مثلثاتی:

- دامنه ی دو تابع (sin(x و (cos(x برابر است با R.

- دامنه ی تابع (tan(x برابر است با.

- دامنه ی تابع (cot(x برابر است با .
توابع معکوس مثلثاتی:

- دامنه ی (Arcsin(x (یا ) و (Arccos(x (یا ) برابر است با .

- دامنه ی (Arctan(x (یا ) و تابع (Arccot(x (یا ) برابر است با R.
توابع چند ضابطه ای:

برای محاسبه ی دامنه ی توابع چند ضابطه ای، کافی است اجتماع دامنه های تک تک ضابطه ها را که معمولا روبه روی آن نوشته می شود، محاسبه کنیم. به ۴ تابع زیر توجه کنید و سعی کنید با استفاده از نکته ی گفته شده، دامنه ی آنها را به دست آورید.

- برای دیدن دامنه ها اینجا را کلیک کنید.
مهم: توابعی که به صورت حاصل جمع یا حاصل ضرب چند تابع دیگر هستند

برای محاسبه دامنه ی این توابع، ابتدا دامنه ی تک تک توابع موجود در آن را محاسبه و سپس اشتراک همه ی این دامنه ها را حساب می کنیم تا دامنه ی تابع اصلی به دست آید. برای مثال، دامنه ی توابع زیر را به دست آورید:

الف)

جواب:

ب)

جواب:

ج)

جواب: (بنابر این دامنه ی این تابع، مجموعه ی تک عنصری است.)

د)

جواب: (بنابر این دامنه ی این تابع، تهی است. چنین توابعی را معمولاً تابع تهی گوییم.)
پیدا کردن دامنه ی تابع از روی شکل آن:

اگر شکل تابع در دست باشد، می توان از هر نقطه ی شکل، عمودی بر محور x ها وارد کرد تا برای هر نقطه ی روی شکل نقطه ای متناظربا آن روی محور x ها به دست آید. مجوعه ی نقاط به دست آمده روی محور x ها، همان دامنه است. ارائه ی مثال را به دبیران محترم واگذار می کنیم.

مثالهای دیگر:

با کلیک کردن روی اینجا یا اینجا بیش از ۲۰ تابع مختلف را مشاهده خواهید کرد که دامنه ی هر یک بدون هیچ توضیحی رو به روی آن نوشته شده است (منظور از D همان دامنه است). به دانش آموزان عزیز اکیداً توصیه می کنم که سعی کنند با توجه به نکات گفته شده در این جلسه، دامنه ها را محاسبه و آنرا با جواب ذکر شده مقایسه کنند. (بعضی از این توابع از کتاب «جبر و آنالیز» استاد گرانقدر «آقای احمد قندهاری» که در سال 1367 منتشر شده، اقتباس گردیده است.)

حل چند مساله از مسائل کتاب:

تمرین ۹ صفحه ی ۱۹:

دامنه ی هر یک از توابع حقیقی زیر را در صورت امکان با استفاده از نماد بازه ها پیدا کنید.

ب) L136

و) L137

ز) L138

حل مساله:

ب) داخل رادیکال باید از صفر بزرگتر باشد؛ پس از تعیین علامت تابع داخل رادیکال، دامنه، بازه ی L139 خواهد بود.

و) داخل رادیکال باید از صفر بزرگتر یا مساوی باشد؛ بنابراین پس از تعیین علامت تابع داخل رادیکال، دامنه عبارت است از L140 .

ز) اجتماع دامنه های روبه روی سه ضابطه را حساب کنید. بنابر این دامنه عبارت است از R.

۱۶ مرداد ۱۳۸۶

+ نوشته شده در یکشنبه سی و یکم تیر ۱۳۸۶ ساعت ۷:۹ ب.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی

جلسه سوم (تابع و مفاهیم مقدماتی مربوط به آن، ضابطه ی توابع حقیقی)

صفحه اصلی وبلاگ (آدرس جدید http://www.ep-math.coo.ir/)

فهرست مطالب آموزش حسابان

حل و بحث مسائل کتاب حسابان جدید و رفع اشکال

موضوع: تابع و مفاهیم مقدماتی مربوط به آن، ضابطه ی توابع حقیقی

توجه:

دانش آموزان عزیز توجه کنید که مفاهیم فصل اول کتاب (فصل توابع) برای درک مطالب فصول بعد بسیار مهم هستند. در واقع مفهوم تابع اساسی ترین مفهوم حسابان است. برای یادگیری و تسلط بر مفاهیم مربوط به تابع باید وقت کافی گذاشت و تا حد امکان روی مسائل آن کار کرد.

نکات اصلی:

مثالی برای ارائه ی مفهوم تابع: فرض کنید نام ۵ دانش آموز در دفتر نمره ی کلاس با اعداد ۱ تا ۵ مشخص شده باشد. وقتی می نویسیم (۱۷و۲) یعنی نفر شماره ی ۲ در امتحان ترم اول حسابان نمره ی ۱۷ گرفته است. کدام یک از مجموعه های زیر روش درستی برای نمایش نمرات حسابان است؟
در مثال بالا، در مجموعه ی A برای نفر دوم هم نمره 16 و هم نمره ی 17 منظور شده است، که چنین چیزی ممکن نیست. در واقع در مجموعه ی A نمره ی نفر دوم مبهم است؛ اما در مجموعه ی B چنین ابهامی وجود ندارد و نمره ی هر کس کاملاً مشخص است.
به مجموعه ای از زوجهای مرتب که هیچ ابهامی نداشته باشند (همانند B) یک تابع می گوییم. مجموعه ی A در مثال بالا تابع نیست(چرا؟). به طور دقیقتر:
تعریف اول تابع (تعریف کتاب ریاضی 2): تابع مجموعه ای از زوجهای مرتب است که مولفه های اول هیچ دو زوجی با یکدیگر برابر نباشند (و اگر دو زوج با مولفه های اول پیدا کردیم، باید مولفه های دوم نیز برابر باشند. به طور مثال مجموعه ی یک تابع است.)
تعریف دوم تابع (تعریف کتاب حسابان): تابع f از مجموعه ی D به مجموعه ی R قاعده ای است که به هر عنصر x از D به نام دامنه، عنصر منحصر به فرد (f(x از مجموعه ی R به نام برد را نظیر می کند.

توضیح 1: در تعریف بالا به کلمات قرمز رنگ توجه کنید. در یک تابع باید از همه ی عناصر دامنه استفاده شود و به هر x از D دقیقاً یک عنصر از R منسوب شده باشد. همچنین دقت کنید که لزم نیست )

توضیح 2: دقت کنید که در یک تابع لازم نیست از همه ی عناصر R استفاده شود.
تعاریف نکات ۴ و ۵ فرقی با یکدیگر ندارند.
اینجا یا اینجا و در شکلی که می بینید، مشخص کنید از بین 5 رابطه کدام تابع است و کدام تابع نیست و چرا. (توجه کنید که جهت خطوط ار چپ به راست است.)
تابع را می توان مانند یک ماشین تصور کرد که برای هر ورودی مجاز، یک خروجی منحصر به فرد دارد. (چرا؟)
قرار دادها و نمادها: اگر f تابعی با دامنه ی D و برد R باشد می نویسیم:

یا و می خوانیم f تابعی با دامنه ی D و برد R است که هر x از D را به (f(x از R تصویر می کند. (در واقع خروجی x از دستگاه f را (f(x می نامیم.) به یا ضابطه یا قانون تابع f گوییم. دامنه ی f را گاهی با و برد f را گاهی با نمایش می دهیم.
چند مثال:

(الف) تابعی است که هر عنصر مجموعه یرا ابتدا در ۲ ضرب و سپس با ۱ جمع می کند. به طور مثال و ( یعنی تصویر ۰ تحت تابع f عدد ۱ و تصویر عدد 1- تحت تابع f عدد 1- است) و ضابطه ی این تابع .

(ب) تابعی است که به هر عدد مثبت r، عدد را منسوب می کند. به طور خلاصه می توان نوشت: که ؛ یعنی ضابطه ی S با دامنه ی عبارت است از .

دقت کنید که این تابع مساحت هر دایره را به شعاع آن وابسته می کند و در این مثال مساحت دایره، تابعی است از شعاع آن، یعنی شعاع دایره (یا همان r) متغیری مستقل و مساحت دایره (یا همان S) تابعی از r است. در این حالت به خلاصه می نویسیم (S(r. به طور مثال اگر شعاع دایره ای 1 واحد باشد، آنگاه (S(1 مساحت این دایره یا همان است، زیرا
لازم نیست که دامنه یا برد یک تابع زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی باشد. با چنین توابع پیشرفته ای در سالهای بعد آشنا خواهید شد. در حسابان معمولا توابعی را بررسی می کنیم که دامنه و برد آنها زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی است.

تابع حقیقی تابعی است که برد آن زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی باشد. برای مشخص کردن یک تابع حقیقی کافی است دامنه و ضابطه ی آن را بدانیم «البته این ضابطه باید چنان باشد که برای هر عضو دامنه یک و تنها یک عنصر از برد را نظیر کند.»

مثال: دو تابع معرفی شده در نکته ی 10، هردو تابعی حقیقی هستند.
اگر یک معادله با دو متغیر به شما داده شده باشد، چگونه می توانید ثابت کنید که این معادله یک تابع را بر حسب یکی از متغیر ها مشخص می کند؟ به طور مثال کدام از معادلات زیر بر حسب x می تواند ضابطه ی یک تابع باشد و کدامیک نمی تواند و چرا؟ (سعی کنید دقیقا توضیح دهید.)
(بسیار مهم) برای اینکه نشان دهیم یک تابع است باید ثابت کنیم از فرض a=b (که a و b عناصری از D هستند)، می توان نتیجه گرفت که (f(a)=f(b (چرا؟).

به طور مثال، ثابت می کنیم که تابع (ب) در نکته ی 10 واقعا یک تابع را نمایش می دهد. به روند منطقی زیر توجه کنید :

روش دیگری نیز برای اثبات تابع بودن یک رابطه وجود دارد که آن را هنگام حل نمونه مسائل کتاب، توضیح خواهیم داد (به حل تمرین ۴ صفحه ی ۱۸ قسمت (ه) در همین جلسه مراجعه کنید).
تابع چند ضابطه ای: بسیاری از توابع را یا نمی توان یا به راحتی نمی توان فقط با یک ضابطه تعریف کرد. توابع مهمی همچون «تابع علامت»، «تابع جزءصحیح»، «تابع دیریکله» و ... از این دست توابع هستند. تابع چند ضابطه ای را به طور دقیق تعریف و حداقل سه مثال از این توابع را ارائه کنید.

چند نکته ی دیگر

حل چند مساله از مسائل کتاب:

تمرین ۳ صفحه ی ۱۸:

توجه: به روش حل این تمرین دقت کنید و حل آن را کاملا یاد بگیرید. از ایده های به کار رفته در این تمرین، بعدها در فصل مشتق استفاده خواهد شد.

عبارت L059 را برای تابع های زیر پیدا کنید(توجه کنید که در این مساله، h مخالف صفر است):

الف) L055

ج) L056

حل مساله:

الف)

L057

ج)

L058

تمرین ۴ صفحه ی ۱۸:

کدام یک از معادلات (و روابط) زیر در اعداد حقیقی می تواند ضابطه ی یک تابع (بر حسب x) باشد؟

الف) L060

ج) L061

د) L062

ه) L063

حل مساله:

(الف) فرض کنید x=0. بنابر این y=1 یا y=-1. یعنی اعضای مجموعه ی {(A={(0,1),(0,-1 هر دو عضوی از رابطه ی (الف) هستند. بنابر این رابطه (الف) یک تابع بر حسب x نیست. (بر حسب y چطور؟)

(ج) مشابه قسمت (الف) فرض کنید x=0. بنابر این y=0 یا y=2. یعنی (0,0) و (2و0) هر دو عضوی از رابطه ی (ج) هستند. بنابر این رابطه (ج) یک تابع بر حسب x نیست. (بر حسب y چطور؟)

(د) مشابه دو قسمت بالا اگر قرار دهید x=-1، نتیجه خواهد شد: y=-4 یا y=-2. بنابر این رابطه (د) یک تابع بر حسب x نیست. (بر حسب y چطور؟)

ه) ثابت می کنیم این رابطه یک تابع بر حسب x است. برای این کار از تعریف اول تابع استفاده می کنیم، به این ترتیب که فرض می کنیم در این رابطه دو زوج مرتب L066 و L067 صدق می کنند که دارای مولفه های اول مساوی هستند، یعنی L068 . ثابت می کنیم مولفه های دوم نیز برابرند؛ یعنی ثابت می کنیم L069 .

ابتدا توجه کنید که

L064

حال با توجه به توضیحات بالا می توان نوشت:

L065

تمرین ۸ صفحه ی ۱۹:

مجموع دو عدد مثبت ۵۰۰ است. اگر یکی از اعداد x باشد تابعی بنویسید، که حاصل ضرب آن دو عدد را به x وابسته کند.

حل مساله:

فرض کنیم x+y=500 و لذا y=500-x. تابع P را حاصل ضرب دو عدد x و y معرفی می کنیم. بنابر این:

L070

حل مسائل امتحانات نهایی هم موضوع با این جلسه:

۱- رابطه ی L071 را به صورت زوجهای مرتب بنویسید. آیا f یک تابع است؟چرا؟

ناحیه ی 2 زنجان، خرداد 81
بارم: 1 نمره

حل مساله:

ثابت کنید که {(f={(0,1),(1,0),(0,-1),(-1,0 و لذا f تابع نیست زیرا دارای زوجهایی با مولفه های اول برابر و مولفه های دوم نابرابر است.

2- اگر L072 یک تابع باشد، مقدار k را محاسبه کنید.

ناحیه ی 2 زنجان، خرداد 83
بارم: نیم نمره

حل مساله:

چون x=2 در هر دو ضابطه ی این تابع هست، بنابر این اگر x=2 را در هر دو ضابطه قرار دهیم باید به یک جواب برسیم (چرا؟) و لذا

27 تیر ماه 1386

+ نوشته شده در چهارشنبه بیستم تیر ۱۳۸۶ ساعت ۱۲:۲۰ ب.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی

گپی خصوصی با دانش آموزان و دانش جویان درباره ی ریاضیات

صفحه ی اصلی وبلاگ

توضیحات ضروری:

در این بخش، گفتگوی این حقیر را که در تیر ماه سال 86 با دانش آموزان و دانش جویانِ کاربر یکی از سایت ها ی پربازدید کشور صورت گرفت، مطالعه خواهید فرمود. این گفتمان به مدت 1 هفته ادامه داشت و در آن موضوعات بسیاری حتی خارج از ریاضیات مطرح شد که فکر می کنم برای همگان مفید است. سوالات تقریباً به همان صورتی که پرسیده شده، آمده و چیزی از آن کم یا به آن اضافه نشده است (هر چند که لحن بعضی از سوالات چندان مناسب نیست). البته هنوز تمام گفتگو را به دلیل طولانی بودن آن نیاورده ام و هنوز در بعضی از سوالات نقص هایی وجود دارد که به امید خدا کم کم رفع خواهد شد.

به امید این که چنین گفتگوهایی در جامعه ی علمی ما بیش از پیش ادامه یابد که دانش آموزان و دانش جویان به چنین بحث هایی بیش تر نیاز دارند تا دعوا بر سر فلان فوتبالیست و فلان هنرپیشه و ...

موفق باشید.

مهدی مفیدی احمدی

۲۹ دی ماه ۱۳۸۷

بعنوان اولین سوال لطف کن یه بیوگرافی از خودت بگو ...

بسم الله الرحمن الرحیم

با سلام و آرزوی موفقیت و بهروزی برای همه ی دوستان عزیز

راستش هنوز هم در عجبم که چطور صندلی نشین شما شدم. واقعاً می گم خودم رو در حد و اندازه ی این چیزا نمی دونم. بنده در قسمت کوچیکی از این سایت بزرگ خدمت می کنم و سعیم بر این بوده که در حد توان و فرصتم مشکلی از مشکلات علمی دانش آموزان و دانشجویان عزیز رو با کمک همکارای دیگه حل کنم. نمیدونم چه چیزی دوستان عزیزم رو به فکر حروم کردن صفحات ارزشمند این سایت انداخته، خدا می داند. امیدوارم این یک هفته پشیمونتون نکنم.

با یاد و نام خدای قادر متعال شروع می کنم.

نام کامل بنده مهدی مفیدی احمدی، 35 ساله، ساکن شهر زیبای زنجان. متاهل هستم و دو فرزند دارم. یکی به نام زهرا 8 ساله و دیگری به نام فاطمه 1.5 ساله. مدرک بنده کارشناسی ارشد ریاضیات محض است و شغلم هم مدرس ریاضی.

اجازه دهید قبل از اینکه به سوالات کاربران محترم جواب دهم، یک نکته را عرض کنم. ممکن است عمداً به بعضی سوالات جواب ندهم . امیدوارم دوستان عزیز را با اینکار رنجیده خاطر نکنم.

معيارهاتون براي انتخاب همسر چيه؟(چه انتخاب انجام شده باشه چه نه)

راستش رو بخواهید بنده همسرم رو با وسواس تمام انتخاب کردم. معیار اصلی بنده هم غیر از تدین و نجابت شخصی و خانوادگی و زیبایی ظاهر و باطن، میزان درایت و رشدعقلی او بود.

بهترين رياضي دان معاصر و قديمي به تفكيك در ايران و جهان از نظر شما كيا هستند؟

ببینید دوست عزیز در حدود 100 شاخه تخصصی در ریاضیات وجود دارد و نمی توان گفت کدام ریاضیدان بهترین است. صدها ریاضیدان بسیار برجسته در داخل و خارج وجود دارند. اما اگر اصرار دارید نام ببرم به روی چشم: در ایران آقایان دکتر بهزاد و دکتر محمودیان و در خارج از کشور، ریاضیدانان فقید: سرژ لانگ و پال هالموس (که اینها بیشتر به خاطر تخصص عجیبشان در آموزش ریاضیات معروف هستند. به طور مثال سرژ لانگ چنان زیبا سخنرانی می کرد که در حدود سه ساعت مردم عامی و غیر متخصص در ریاضی را در سالن نگاه می داشت. کشور ما به چنین ریاضیدانان معلمی واقعاً نیازمند است.)
از ریاضیدانان قدیمی از خوارزمی و خیام و نیز نیوتن و گاوس می توان به عنوان بهترینها نام برد.

به نظرتون نيوتن خيلي مخ بوده يا اينشتين؟كدومشون باهوش تر بودن؟

فکر نمی کنم بتوان بین آنها باهوشترین را انتخاب کرد.

اگه مي شد پدر مادرتون رو خودتون انتخاب كنيد همينا رو انتخاب مي كرديد؟

فعلاً که چنین چیزی ممکن نیست.

از دوران بچگی ات بیشتر توضیح بده؟

بسیار شلوغ بودم و گریه ی مادرم را در می آوردم. چند بار هم گم شدم و پدر و مادرم با کلی مصیبت پیدایم کردند.

فكر ميكني رياضيات تابع فيزيكه يا برعكس؟

هیچکدام، نه ریاضی تابع فیزیک است و نه فیزیک تابع ریاضی، اما هر دو به یکدیگر نیازمندند و به یکدیگر ایده می دهند. بزرگترین کارهای تحقیقاتی بشر در ریاضیات از ایده های فیزیکی ناشی شده است (همانند کارهای نیوتن و لایبنیتز در کشف حساب دیفرانسیل و انتگرال) و پیشرفته ترین ایده های فیزیکی از دل ریاضیات متولد شده اند (مانند نظریه تارها که هم اکنون طرفداران زیادی در جهان دارد).

به رياضي علاقه داري؟؟

بسیار زیاد

در مورد خدا باوری انیشتن شما اطلاعاتی دارید؟ چون واقعا در این مورد مطالب ضد هم هست.

در اینباره اطلاع خاصی ندارم. فقط چند تا جمله از ایشان این ور و اونور دیدم.

بعضی اعتقاد دارند که خدا باور بود و حتی اسلام و شیعه را هم قبول داشت و بعضی هم ادعا میکند که حتی وجود خدا را هم زیر سوال میبرد.

درست یا نادرست بودن این مطلب خیلی مهم نیست. با قبول داشتن یا نداشتن انیشتین چیزی به حقانیت اسلام و تشیع اضافه یا از آن کم نمی شود.

به نطر شما هدف خدا از خلق انسان چه بود؟

و ما خلقت الجن و الانس الا لیعبدون

و انسان باید در این دنیا به چه برسد؟

به کمال وجودی خودش که همان بارور کردن تمام استعدادهای درونی اوست.

چرا اعداد تموم شدنی نیستن!!(نمیخوام اثباتهای پیچیده کنین!!! به زبون ساده !!!)

جوابش خیلی ساده ست. هر عدد طبیعی رو که در نظر بگیری اگه به اون 1 اضافه کنی عددی بزرگتر از قبلی به دست می آد. پس بزرگترین عدد طبیعی موجود نیست. بنابر این اعداد تموم شدنی نیستن!!

من سنم کمه و از ریاضیم تا حد سنم(سوم راهنمایی) میدونم یکمم اطلاعات کمه دیگه پس اگه سوال تخصصی نمیکنم شرمنده چون شاید جوابشو نفهمم.

ریاضیات از ریاضت میاد؟

به این سوال آقای پرویز شهریاری یکی از معروفترین چهره های ریاضی کشور اینگونه پاسخ داده اند:

رياضيات به معني علمي است که با رياضت به آن مي رسند، در حالي که خود رياضيات اصلا به معناي رياضت کشيدن نيست ، اگر با دانش آموز درست رفتار شود و بخصوص به کار گروهي توجه شود و معلم سعي کند همه چيز را از زبان خود دانش آموزان بيرون بکشد.
رياضيات علمي پيوسته است و اگر دانش آموزي يک مفهوم را متوجه نشد، نمي تواند بقيه مباحث را بفهمد. معلمها بايد از همان ابتدا به صورت اصولي و پايه اي رياضيات را آموزش دهند، اما من فکر مي کنم يکي از موانع اصلي تفکر و انديشه در زمان ما همين مساله کنکور است ؛ زيرا دانش آموزان از وقتي که پشت ميز کلاسهاي راهنمايي مي نشينند فقط احتياج دارند با تست کار کنند و اگر هم تصادفا وارد دانشگاه شوند، مي بينند که اصلا وضع آن طوري که فکر مي کردند نيست و در نتيجه در تمام دوره دانش آموزي نه کتابي مي خوانند و نه به مفاهيم توجهي دارند و هيچ چيزي را عمقي ياد نمي گيرند.

مطالعه ی کامل این مصاحبه را به همه ی دوستان توصیه می کنم.
http://www.jamejamonline.ir/shownews...n=132806&t=dig

تا بحال احساس کردین که ریاضی واقعا داره اذیتتون میکنه؟

اذیت که نه اما سختی چرا، در هنگام کار روی یک مساله گاهی ماهها تلاش می کردم و حتی بعضی وقتها تا اذان صبح بیداری می کشیدم، اما مساله تسلیم شدنی نبود. بالاخره راه حل مساله هنگامیکه بعد از تدریس به شهر بر می گشتم، پیدا شد. جالب اینجاست که این مساله بعداً به عنوان یک کار تحقیقیاتی در یکی از مجلات خارج از کشور به چاپ رسید.

آیا قسمتی از ریاضی هست که توش منطق نباشه؟

نه، حتی به عقیده بعضی از ریاضیدانان طراز اول، ریاضیات همان منطق است و بالعکس.

توی ریاضی استعداد مهمتره یا تمرین و پشتکار؟ من خودم تمرین و پشتکار رو مهمتر میدونم.

با شما موافقم، اما استعداد هم لازمه.

یک سوال هم خودم داشتم: بعد از تریلیارد چه واحدی میاد؟(ببخشید نمیتونم کلمه ها رو صحیح بگم)

كوادريليون =10 به توان 15

به اینجا مراجعه کنید:
http://www.forum.p30world.com/showthread.php?t=80328

معلم چه مقطعي هستي؟؟ دبيرستان يا راهنمايي؟؟

دبیرستان

من به یه نتیحه رسیدم........ وقتی عدد X رو به عدد Y تقسیم کنیم و حاصل مجذور کامل باشه، با ضرب X در Y ،جواب باز هم عددیه که مجذور کامله.......... آیا این قضیه درسته؟ میشه اثباتش کرد؟

حرف شما کاملاً درست است. فرض کنید x و y دو عدد طبیعی باشند و a نیز عددی طبیعی. آنگاه

از دنياي رياضيات چطور ميشه به خدا رسيد ؟

نمی دانم این چه تبی است که به جان دانش آموزان و دانشجویان افتاده است که می خواهند به زور هم که شده خدا را به وسیله ی ریاضی ثابت کنند یا از آن به خدا برسند. آنقدر دلایل محکم و متقنی در اثبات وجود خدای متعال هست و آنقدر راههای زیبا تر و بهتری برای رسیدن به خدا وجود دارد که نوبت به ریاضی نمی رسد. به سوال شما خیلی مختصر این گونه جواب می دهم: اگر به پیشرفت عجیب و غریب ریاضی در چند صد سال اخیر - به ویژه در صد سال گذشته - فقط نیم نگاهی بیندازیم عظمت و شکوه ذهن و اندیشه بشر کاملاً مشخص میشود. به طور مثال برای اثبات یک قضیه 4 سطری، در حدود ده هزار صفحه اثبات عرضه میشود. فهم اثبات این قضایا هم نیاز به داشتن فوق تخصص در چند رشته از ریاضیات است. البته این فقط قسمت بسیار کوچکی از فعالیتهای ذهنی بشر است. بشر به وسیله ابزار قدرتمندی همچون ریاضیات، عملاً طبیعت را - حتی در خارج از منظومه شمسی - به استخدام خود درآورده است و ... حال بشر با چنین قدرت ذهنی شگفت آوری آیا معلول طبیعت بی جان بی شعوری است که حتی قدرت تغییر خود را هم ندارد؟!!

از اطاله ی کلام و از اینکه ییهو !! جدی شدم عذر می خواهم. معلمی بد دردی است!! خودتان بالعیان یک چشمه از آن را مشاهده کردید.

نظرت درباره چارلز داروين چيه ؟

ایشان یکی از دانشمندان بزرگ انسان شناس است که با وجود تقید به مذهب و دین الهی، نظریه ای ارائه کرد که برعلیه دین تفسیر شد.

خوب من هم چند تا سئوال داشتم (راستی مهدی جان من هم آذری زبانم(البته اصلیتم آذریه))

دوست عزیز بنده آذری زبان نیستم اما مخلصشونم هستم. بنده 4 سال و اندی در تبریز دانشجو بودم.

کتاب خوبی درباره محاسبات سریع در ریاضیات سراغ داری ؟ ( من خودم تو این زمینه مطالعه زیاد داشتم کتاب " روش سریع تراختنبرگ در حساب " رو هم خوندم . به غیر از این کتابی رو می شناسی؟)

بله کتاب «سرعت انتقال و محاسبات ذهنی کاربردی» تالیف آقای علی بیات موحد (این فرد را از نزدیک دیده ام. اعجوبه ای است. در حالی که مشغول سخنرانی بود به طور مخفیانه در ذهن خود، بدون اینکه ما متوجه شویم، ضرب و تقسیم های بزرگی را که از او پرسیده بودند، انجام می داد و جوابش را می گفت، آنهم کاملاً صحیح.)

توی ریاضیات من به شخصه نظریه اعداد رو خیلی دوست دارم . شما به کدام قسمت علاقه بیشتری داری ؟

بنده هم این رشته را فوق العاده دوست دارم. اما اگر کسی بخواهد در این رشته ادامه تحصیل دهد نیازمند به داشتن معلومات عمیقی از جبر و آنالیز و هندسه توپولوژی است. بنابر این هر کسی را جرأت ورود به این رشته نیست. بنده در رشته جبر شاخه ی نظریه ی گروهها کار کرده ام. اما همه ی شاخه های ریاضیات را دوست دارم.

نظرت نسبت به هندسه ؟ ( یه کتاب جامع هم معرفی کن)

هندسه فعلاً درب اصلی برای ورود به جهان ریاضی است. دانش آموزان با مطالعه و حل مسائل آن روش استدلال درست را می آموزند. از طرف دیگر می توان دانش آموزان مستعد در رشته هایی مانند ریاضی و فیزیک را از طریق روشهای حل مسائلی که در هندسه به آنها داده می شود شناخت. حتی در دوره ی ابتدایی و راهنمایی هم وسیله ی سنجش بسیار خوبی است.

یک کتاب نسبتاً جامع: هندسه ی مسطحه (مقدمه ای بر هندسه ی نوین مثلث و دایره)، ترجمه ی آقای محمد دیانی، انتشارات فاطمی

اگه بهت بگن یک آدم بی گناه رو بکش تا 10 میلیون بیگناه نجات پیدا کنند این کارو میکنی؟

فعلاً چنین چیزی را رسماً از بنده نخواسته اند.

شطرنج بازی میکنی ؟

نه

چه مجله ها و روزنامه هایی رو مطالعه میکنی ؟

بیشتر، مجلات علمی، سیاسی و مذهبی.
اکثر روزنامه ها را هم مطالعه می کنم. از دوره ی نوجوانی سعی ام بر این بوده که از انواع و اقسام سلیقه های سیاسی موجود در کشور آگاه باشم و بدون تعصب حرف منطقی را بپذیرم. حتی سری هم به روزنامه های مهم جهان می زنم.

نظرت نسبت به پرویز شهریاری ؟

ایشان را یکی از ذخیره های بزرگ ریاضی کشور می دانم. از دوران دبیرستان با کتب ریاضی این مرد بزرگ آشنا بودم و هم اکنون هم نوع دید بنده درباره وضعیت آموزش ریاضی در کشور به ایشان بسیار نزدیک است.

آیا روش سریعی برای محاسبه ریشه پنجم یک عدد 9 رقمی سراغ داری ؟(منظورم اعدادی که جذر کامل داشته باشند)

نه متاسفانه چیزی در این باره نمی دانم. اگر روش خاصی در این زمینه بلدید، ما را هم بی نصیب نگذارید.

John Nash رو صد در صد میشناسی ....از زندگیش چی فهمیدین و چقدر براتون مفید بوده !؟

فکر می کنم فیلم «یک ذهن زیبا» هم به نقایص و هم به نقاط قوت شخصیت او اشاره کرده و نیازی به توضیح و تفسیر بنده ی حقیر نیست. منتهی گله ای که از اینگونه فیلمها دارم این است که مردم نوعاً این گونه فیلم ها را به کل جامعه ی ریاضی و ریاضی دانان تعمیم می دهند. از مردم بسیار شنیده ام که ریاضی دانان افرادی پریشان خاطرند که نمی توانند با محیط اطراف خود ارتباط درست برقرار کنند. این ذهنیت کاملاً غلط است. ریاضی دان نیز یک بشر است با تمام ضعفها و قوتهایش. بنده از نزیک ریاضیدانان بزرگ اروپایی و آمریکایی را دیده ام که در ارتباطاتشان چنان زیبا و لطیف عمل می کردند که دانشجویان حسابی جذب آنان می شدند. حتی با یکی از ریاضی دانان ما یک ترم تمام تنیس بازی می کردیم. یک ریاضیدان آمریکایی را می شناسم که از پرورشگاه کودکان بی سرپرست، کودکی را به خانه آورده بود (با اینکه خودش دارای فرزند بود) و برای او تا مرحله ی ازدواج پدری کرد. اگر تاریخ ریاضیات را مطالعه کنید از این گونه افراد بسیار خواهید یافت. هر چند ممکن در بینشان افراد پریشان خاطری هم همانند بقیه رشته ها ی علمی یافت شود. به شخصیت و میزان عقل و درک یک انسان باید نگریست نه به رشته تحصیلی او.

هدفتون از زندگی چی هست ؟

رضایت خدا و حجتش (عج)

سلام من به شما به خاطر زندگی موفق و زیبایی که دارید تبریک میگم.به شما ..خانوادتون..و پدر و مادر گرامیتون.امیدواریم در پناه خدا همچنان به فعالیتهای مفید مشغول باشید.
اینم سوال من؟
نظرتون در باره ی حذف کنکور چیه؟خوبه یا بد؟

معلمی از نظر رعایت عدالت شغل سختی نیست ؟ هیچ وقت در این باره دچار عذاب وجدان می شید ؟

باید معلم بود و با درد او آشنا شد. خدا می داند که در طول یکسال چه خون دلها که نمی خوریم و چه تشرها که به خود نمی زنیم. باور کنید توصیف این زجرها ممکن نیست. هر سال مشکلاتمان با دانش آموزان و دانشجویان بیشتر و بیشتر می شود و هر سال باید نوع برخوردمان را با نوجوانان و جوانان، خانواده های آنها و مسئولین مدرسه و دانشگاه عوض کنیم تا در انجام وظیفه ی سنگین معلمی کوتاهی نکرده باشیم. این راز ها و درددلها سر به مهر بماند بهتر است. شاید در سوالات بعدی بیشتر توضیح دادم.

در مورد گرایش تاریخ ریاضیات اطلاعی دارین ؟ توی ایران هست ؟

نه فعلا چنین گرایشی وجود ندارد (تا حدی که بنده اطلاع دارم).

هیچ وقت به فکر ادامه تحصیل بودین ؟

بله، سه بار در امتحان دکتری ریاضی شرکت کردم. در بعضی از این امتحانات، به لطف خدا، نفر اول هم شدم اما به دلایلی که گفتن آنها درست نیست، پذیرفته نشدم. البته نامید نیستم و باز هم تلاش خواهم کرد.

رشته ریاضی توی دانشگاه واقعا رشته سخت و پرزحمتیه و از طرف دیگر بازار کارش نسبت به خیلی از رشته ها مناسب نیست .

اینگونه که شما می گویید نیست. بازار کار برای دانشجویان مستعد و باسواد رشته ی ریاضی به ویژه بعد از دوره ی کارشناسی ارشد، اگر نگویم بیشتر از سایر رشته های علوم پایه است، کمتر از آنها هم نیست. هدف تاسیس رشته ی ریاضی در دانشگاهها تربیت افراد برای تحقیقات سطح بالا در این رشته است. چیزی که هم اکنون کاملا فراموش شده است و متاسفانه هر کس در هر سطح علمی هم که باشد می تواند وارد این رشته شود. یکی از زجر هایی که بنده حقیر در کلاس درس می کشم همین است. بارها و بارها و بارها !! شاهد بوده ام کسی در کلاس درس رشته ریاضی نشسته است که هم در دوره دبیرستان و هم در دانشگاه از ریاضی متنفر بوده و هست. ریاضیات را مسخره می کند و آن را برای آدمهای بی کار و بی عار می داند. به راستی بعد از فارغ التحصیلی، این دانشجو چه مشکلی از مشکلات کشور را می تواند حل کند. با چنین توصیفاتی مشکلاتی که شما برشمردید، باید هم اتفاق بیفتد.

با این اوصاف هیچ وقت به دختراتون پیش نهاد می کنید که برای رشته دانشگاهی سراغ ریاضی برن ؟

بنده به دخترهام هیچ پیشنهادی نمی دهم. اگر دوست داشتند سراغش می روند اگر نه، نه.

کم ترین نمره ریاضی که تا قبل از ورود به دانشگاه گرفته بودین چند بود ؟

یکبار در مثلثات، در امتحان خرداد، نمره 8 گرفتم.

بدترین خصوصیت اخلاقیتون ؟

یکی از بدترین خصوصیات اخلاقی شغلیم این است که از ورقه تصحیح کردن متنفرم و اگر مجبور نبودم یک ورقه هم تصحیح نمی کردم.

رابطتون با بچه ها چطوره ؟

بسیار خوب. اگر یک روز با بچه ها بازی نکنم و هنگام غذا خوردن دور بنده نباشند و شلوغ نکنند و سر به سرشان نگذارم، آن روز احساس کمبود می کنم و غذا زهرمارم می شود. آنها هم وقتی از بنده دور هستند، وقتی وارد خانه می شوند، یکراست وارد اتاقی می شوند که بنده در حال مطالعه هستم و می ریزند روی سر وکله ی بنده.

توی کارای خونه کمک می کنید ؟

بله، کارها در منزل ما همه تقسیم شده است.

شبای یلدا عادت دارین فال حافظ بگیرین ؟

نه

هنوز با هم کلاسیهای دوران دانشگاه ارتباط دارین؟

بله کمابیش.

نظر تون در باره اینکه میگن ریاضی اثبات نشدنی هست چیه؟

ریاضیات چیزی نیست که اثبات بشه یا نشه، مثل این که بپرسیم آیا میز و صندلی اثبات شدنی هستند یا نه. اگر منظورتون جوهر و ماهیت ریاضی است، که البته بحث فلسفی و مشکلیه. بعضی اعتقاد دارند چنین ماهیتی اصالتاً وجود داره بعضی ها هم نه. وارد این بحث نشیم بهتره، خسته تون می کند. البته اگر خواستید بیشتر توضیح می دم.

نظرتون در مورد اینکه میکن وجود خداوند را از طریق ریاضیات اثبات کرده اند (توسط عده ای از ریاضیدان ها از جمله مهندس بازرگان) چیه؟

در پستهای قبلی مفصلا عرض کردم، برای اثبات وجود باریتعالی به چنین بحثهایی نیاز نداریم. بنده هم شخصا به چنین دلایلی اعتقاد ندارم. ضمنا توجه کنید که مهندس بازرگان ریاضیدان نبود.

آیا خودتون میخواستید معلم شید؟

بله

نظر تون در رابطه با سیستم آموزشی کشور(مخصوصا در ریاضی) چی هست؟

متاسفانه با وجود استعدادهای عالی و بی نظیری که در این کشور یافت می شود، معتقدم که سیستم کنونی آموزشی کشور توان بهره برداری درست از آن را چه در دانشگاه و چه قبل از آن ندارد. تا قانون «نمره بگیر بالا بیا» به جای «یاد بگیر بالا بیا» در این سیستم حکمفرمایی می کند، مشکلات حاد کنونی ریشه کن نخواهد شد و تا سیستمی بومی و مخصوص به این کشور به جای روشهای دست چندم، قدیمی و مخالف با فرهنگ این مرز و بوم در امور آموزش نسل جوان «جمهوری اسلامی ایران» ایجاد نشود باید در نسل بعد شاهد یک فاجعه بزرگ باشیم.

در دوران مدرسه تقلب ميكردي؟

شاید باور نکنید، اصلا از تقلب متنفر بودم چون شرعاً این کار را درست نمی دانستم و نمی دانم. حتی اگر چشمم به طور اتفاقی به برگه ی کنار دستی می افتاد و جواب درست رو می فهمیدم، جواب آن سوال را نمی نوشتم!!

تو با نظریه ی دکارت در مورد علم ریاضی موافقی؟منظورم اینه مادر تمام علم هاست.

علم تعریف مشخصی داره اونهم مجموعه ی اطلاعات بشره و ریاضیات هم داخل اون. اگر بگیم ریاضی الهام بخش و باعث پیشرفت بسیاری از شاخه های علمه شاید درست تر باشه.

شاخه ی مورد علاقتون در ریاضیات چیه؟

رشته ی جبر

میتونی بگی جواب 100 فاکتوریل چنده؟

93326215443944152681699238856266700
490715968264381621468592963895217599
993229915608941463976156518286253697
920827223758251185210916864
000000000000000000000000

نترسیدید که؟!

موسیقی دوست دارید؟گوش میدید؟

اهل موسیقی به اون معنی که مرسومه، نیستم.

آیا یکی از نظریه های ریاضی هست که به نظر شما کامل نباشد و مورد پسندتون قرار نگیره؟

ببینید ما در ریاضی نظریه نداریم. هر چیز را با منطق باید اثبات کرد و الا قابل قبول نیست. به جای نظریه در ریاضی سه نوع فلسفه مهم وجود دارد: منطق گرایی، شهودگرایی و صوری گرایی. بنده مخالف هیچکدام نیستم.

چطور شد که به ریاضیات علاقه مند شدید؟

شاید برخورد مناسب معلمهای عزیز و بزرگوارم که اگر در دست رس بنده باشند حاضرم دست و پایشان را ببوسم.

اگه ماشینی اختراع بشه که آدمو به گذشته ببره اونوقت بازهم همین راهو تو زندگیتون ادامه میدادین؟

مطمئناً نه، در طول زندگی آدمیزاد اشتباههای زیادی می کنه، سعی می کنم اون راهها رو دیگه نرم. اما درباره رشته ی تحصیلی فکر می کنم بازم همین رشته رو انتخاب می کردم.

کمترین نمره ی انظباطی که گرفتید

والله یادم نیست. اما آدم شری نبودم و به لطف خدا معلمها و مسئولین مدرسه ازم راضی بودن

معدل دیپلومتون چند بود

فکر میکنم حول و حوش 16

بهترین معلمی که داشتین

معلم جبر سال اول دبیرستان (البته نظام قدیم)

یه قضیه مهم هست که میگه دو خط موازی در بینهایت دور به هم میرسن کلا دو برداشت از این جمله میشه کرد:
الف- هر دو خط موازی بالاخره به هم برخورد میکنن(خیلی بعیده)
ب- چون چیزی به اسم بینهایت دور موجود نیست پس دو خط موازی هیچگاه به یکدیگر برخورد نخواهند کرد
کدوم صحیح است؟؟میشه یه توضیحی کوجک بدین؟؟

دوست من هر دو مطلب درست است. دومی مطلبی بدیهی در هندسه ی اقلیدسی است اما در اولی، دقت کنید که نمی گوییم دو خط موازی در نقطه ای از صفحه به یکدیگر می رسند. در این حالت نقطه ای فرضی به فضا ی صفحه اضافه می شود به نام نقطه ی بی نهایت، بدون اینکه خواص اصلی صفحه تغییر کند. اینکار برای ساده کردن اثباتها ی هندسی و برطرف کردن بعضی از مشکلات منطقی و ... لازم است و می توان ثابت کرد که اضافه کردن این اصل به هندسه ی اقلیدسی تناقضی به بار نمی آورد. بنابر این شما مطمئن باشید که دو خط موازی هیچگاه به یکدیگر نمی رسند.

فیثاغورث را که حتما میشناسین!! یه بار تو یه کتابی خوندم که بیشتر قضایایی که به ایشون نسبت داده شده توسط شخص فیثاغورث کشف نشده(من جمله قضیه معروف در مثلث قائم الزاویه) بلکه بیشتر این قضایا توسط شاگردان ایشون ثبت شده ولی به دلیل احترامی که شاگردان فیثاغورث برای ایشون قائل بودن تمامی انها را به خود فیثاغورث نسبت میدادن!!
حالا سوال من اینه که آیا این موضوع واقعیت داره؟؟

بله احتمالا همینطور است.

به فرض واقعیت داشتن آیا قضیه‌هایی هست که شخصا توسط خود فیثاغورث کشف شده باشد؟؟

بعید می دانم بتوان دست روی قضیه ای گذاشت و به طور قطعی گفت که این یکی را خود فیثاغورس اثبات کرده است.

فردی که معدلش در اول دبیرستان ۶۵/۱۹شده در سال دوم در رشته ریاضی فیزیک چه معدلی رو کسب میکنه؟ «حدسی»

احتمالا بالای 10!!

بیشتر از اینترنت برای چه کارهایی استفاده میکنید؟

کارهای علمی، دانلود نرم افزارها و مقالات و نیز مطالعه ی سایتها ی خبری

اهل مد هستید؟

نه

در دوران مدرسه شر بودید یا نه؟

نه، البته دانش آموز بی سر وصدایی هم نبودم.

توضيح مختصر از عدد نپر

به چند سطر زیر توجه کنید. مجموع اعداد هر سطر را به طور دستی یا با ماشین حساب به دست بیارید. اگر سطرهای بعدی را هم با همین قانون بنویسید و اونها رو حساب کنید، آنگاه هر سطر به عدد نپر نزدیکتره. البته مثلا !4 برابره با حاصل ضرب اعداد 4 تا 1. مقدار تقریبی عدد نپر با 9 رقم بعد از اعشار: 2.718281828

درباره ي google كه ميگن مال رياضياته

در بعضی از سایتها این توضیح رو می تونید ببینید: گوگل بر گرفته از کلمه Googlo به معنی عدد یک و صد صفر جلوی اونه و توسط یک ریاضیدان آمریکایی - که البته نمی دانم کیست - نام گذاری شده. این عدد در واقع نوعی شعاره که بیان می کنه گوگل قصد داره تا اطلاعات خودش رو تا اون مقدار در وب توسعه بده.

چرا من تو دانشگاه رياضي 6 رو 4 بار افتادم وبعد ترم آخر شدم 19

از این اتفاقات زیاد می افته نگران نباشید!!

اگه يكي از شاگرداتون مثل من خيلي شر باشه و تمام كلاساتون رو بهم بريزه چكار ميكنيد ؟

سعی می کنم هیپنوتیزمش کنم!!

اگه درسي بنام رياضيات نبود چي ميشد ؟

اگه درسي بنام رياضيات نبود می رفتیم سراغ فیزیک اونم چون بدون ریاضیات وجود ندارد میرفتیم سراغ شیمی و چون اونم بدون قوانین فیزیکی وجود خارجی نداره مرفتیم سراغ زمین شناسی و چون ....

در كل تاريخ رياضيات كي از همه بيشتر به اين علم خدمت كرده ؟

محال است کسی بتونه به این سوال جواب بده.

يك سوال دارم خواهشا جوابشو بهم خصوصي بگيد ما چهل تا گاو داريم وميخواهيم توي 7 روز اينارو بكشيم و تعداد قربانيهاي هرروز فرد باشه و عدد هم ميتونه تكراري باشه. هر روزچندتا ؟

دوستان عزیز بنده که دارن به این سوالتون جواب می دن. چه نیازی به جواب خصوصی بنده دارید:
http://www.forum.p30world.com/showthread.php?t=137933

من به ریاضی علاقه ندارم ولی به ریاضی احتیاج دارم. پیشنهادی بدید تا این حقیر ریاضی را اصولی و با علاقه یاد بگیرم. ( معرفی کتاب. سایت و ... ).

دوست عزیز، احتیاج - اگه واقعی باشه - علاقه هم ایجاد میکنه. در لینک زیر توضیحات مفصلی داده شده. اگه بازم مشکلی بود، بفرمایید.
http://forum.p30world.com/showpost.p...&postcount=301

اگه سن تونو منهاي ده كني چند ميشه؟

200 تقسیم بر2 منهای 75

چه عددي رو از همه بيشتر دوست داري؟

در این باره نظری ندارم.

چه معادله و فورمولي رو بيشتر دوست داري و ترجيح ميدي؟

در این باره هم نظری ندارم.

كدوم كتاب رو از همه بيشتر دويت داري؟

قرآن رو بیشتر از هر کتاب دیگه دوست دارم.

زندگي رو تا چه عددي ترجيح مي دي؟

هر چه بیشتر، بهتر، به شرطی که در راه اطاعت خدا صرف بشه.

چرا اكثر افرادي كه در رشته رياضي تحصيل كردند فكر مي كنند منطقي هستند؟

اگر فکر می کنند که همیشه منطقی حرف می زنند بدون اینکه حرفهای مخالف خود را شنیده و درباره ی آنها فکر کرده باشند و دیگران باید بدون چون و چرا حرف آنها را بپذیرند، قطعاً اشتباه می کنند. متاسفانه اکثر ما انسانها اینگونه ایم و این مرض مختص ریاضی خوانها نیست. این افراد نوعاً رشد عقلی درستی ندارند و سن عقلی آنها بسیار کمتر از سن زمانی آنهاست.

چرا اكثر اين افراد مغرورند؟

غرور بی جا و بی دلیل، نتیجه ی شخصیت ضعیف و داشتن عقلی بچگانه است، حال این فرد ریاضی خوان باشد یا نباشد.

چرا شطرنج خوب بازي مي كنند؟

همه این گونه نیستند.

چرا كنار خيابون فوتبال بازي نمي كنند؟

مطمئنید؟!

شما موقع راه رفتن پاهايتان را به زمين مي كشيد يا مي كوبيد؟

هیچکدام

بعد از بدنيا آمدن دخترهاي نازتون با همسرتان و بدون حضور بچه ها به رستوران رفته ايد؟ چند بار؟

نه

اگه خيلي خسته باشيد و بخواهيد استراحت كنيد، و همسرتون از شما بخواد 30 يا 40 صفحه از يك رمان را برايش بخوانيد ، چه مي كنيد؟!

چنین اتفاقی تا حالا نیفتاده و مطمئناً نخواهد افتاد. بنده ی حقیر به لطف خدا همسر با کمالاتی دارم. به فرض محال اگر چنین درخواستی از من کرد فکر می کنم قبول کنم، چون آسایش همسرم را بسیار دوست دارم.

رنگ پرده اتاق خواب يا اتاق نشيمن براي شما مهم است؟

بله، اما در این حالات سلیقه ی همسرم را بیشتر می پسندم. فکر می کنم در این حالات خانمها خوش سلیقه ترند.

مسائل معادلات ديفرانسيل براتون جالبه يا هندسه؟

هر دو

ياد گرفتن احتمالات چقدر تو زندگي روزمره بدرد مي خوره ؟

شاید در زندگی معمولی ما آنقدرها به درد نخورد اما در ریاضی، فیزیک، اقتصاد، مهندسی ژنتیک و حتی روانشناسی اهمیت فوق العاده ای دارد و باید یک دانش آموز یا دانشجو مقدمات مناسبی از آن را فرا گیرد. در ضمن این تفکر که باید حتما تمام قسمتهای ریاضی در زندگی روزمره به درد بخورد، تفکر اشتباهی است.

بيشتر دوست داشتي معلم چه رشته اي باشي؟؟؟ يعني بعد از رياضي

جواب دادن به این سوال بسیار سخت است. بنده به طور عجیب و غریبی به همه رشته ها علاقمندم. از رشته های علوم پایه مانند ریاضی، فیزیک، زیست شناسی و زمین شناسی گرفته تا رشته های فنی و مهندسی به ویژه رشته های مربوط به علوم رایانه و اینترنت و نیز از رشته های مربوط به پزشکی به ویژه مغز و اعصاب گرفته تا رشته های علوم انسانی مانند فلسفه و منطق، روانشناسی، جامعه شناسی، اقتصاد، جغرافیا، تاریخ، باستان شناسی و علوم مربوط به حوزه ی دین، به همه ی اینها به شدت علاقمندم، البته اگر این جملات را اغراق آمیز و نشانه ی تعریف بیهوده از خود ندانید!! حتی گاهی با دوستان در خانه ها جمع میشویم و درباره رشته ای خاص صحبت می کنیم. کتابهای مربوط به آن رشته را مطالعه می کنیم و مطالب آنها را به بحث می گذاریم. این کارها برایم از بهترین تفریحات به شمار می رود. وقتی که در تلوزیون برنامه ای علمی و مناسب با روحیات خودم پخش می کند از این جهان غافل می شوم و حتی گاهی صدای اطرافیان را هم نمی شنوم. شاید برایتان جالب باشد همین چند مدت پیش برنامه ای درباره نظریه تارها - که یکی از نظریات نوین فیزیک درباره ساختار جهان و اتحاد نیروها ست - از شبکه ی چهار پخش میشد. بعد از دیدن این برنامه مستند از شدت خوشحالی، حالتی شبیه سماع درویشان به من دست داده بود. شاید باور نکنید اما گاهی آرزو می کنم که ای کاش خدای متعال به این حقیر فقیر سراپا تقصیر چند هزار سال عمر می داد تا هر هزار سال را به یک رشته اختصاص می دادم !!! اما افسوس و صد افسوس که عمری همچون عمر گلبرگ داریم و اقیانوس علم خدا بیکران در بیکران و به قول نیوتن فقط باید مانند یک بچه کنار دریا با سنگریزه ها بازی کنیم.

از اینکه کلامم طولانی شد عذر می خواهم

نظرتون در باره ی حذف کنکور چیه؟خوبه یا بد؟

حذف کنکور را به طور صد در صد به صلاح نمی دانم. دانش آموز باید در یک رقابت سالم علمی کشوری شرکت کند تا سره از ناسره مشخص شود، تا بعضی شکستهای علمی خود را در طول دبیرستان جبران کند، تا با سوالات خوب و استاندارد آشنا شود و ... حذف کلی کنکور مشکلاتی را هم برای معلمین ایجاد خواهد کرد. چرا که هنوز سیستم آموزشی و سنجش میزان یادگیری و نمره دهی در آموزش پرورش ، برای این کار آمادگی ندارد. در کنار این البته صددرصد موافق کم کردن اهمیت کنکور برای دانش آموز هستم تا دانش آموز تا حد بسیار زیادی به یاد گیری درست در طول دبیرستان عادت کند و معتاد تست و سرسری خواندن و مهمتر از همه ولخرجی برای ثبت نام در کلاسهای کنکور نشود. درلینک زیر در این باره مفصلا صحبت کرده ام.
http://forum.p30world.com/showpost.php?p=576406&postcount=301

شاید بتوان تقسیم 70 درصد نمرات تحصیلی دانش آموز و 30 درصد کنکور را برای قبولی دانش آموز در دانشگاه درست دانست.

دست اندکاران خیلی قبل از این گفته بودند که با یک همکار برای نشستن روی صندلی داغ صحبت کردن و اون بزرگوار اظهار داشته من اهل این قرتی بازیا نیستم. پیش خودم گفتم ده به یک شرط می بندم که این همکار آقای مفیدی بوده. ولی الآن که شما رو اینجا میبینم (و خیلی خوشحالم) برام عجیبه. آیا اون همکار شما بودید و نظرتون عوض شده یا خیر؟ اصلاً چرا قبول کردید که اینجا باشید. با اون جدیتی که من از شما سراغ داشتم جور در نمیاد.

دوست من مطمئن باشید اگر بنده چیزی را قرتی بازی بدانم بسیار بعید است که نظرم را عوض کنم. خاطرتان جمع جمع، آن بزرگوار بنده نبودم. یکی از مسئولین در یک پیام خصوصی از بنده خواستند و بنده هم اطاعت امر کردم، همین.

از طرف دیگر آیا شما صندلی نشینی را در اینجا حتی اگر بتوان به وسیله ی آن چیزی یاد داد و چیزی یاد گرفت و شبهه ای را برطرف کرد، مخالف جدیت می دانید؟! البته می توانم حدس بزنم که تعجب شما از کجا ناشی می شود. با وجود این با خودم فکر کردم شاید فرصت دیگری بهتر از این برای پاسخگویی به سوالات زیادی که دانش آموزان و دانشجویان درباره ریاضیات دارند، پیدا نشود. از قبل هم حدس می زدم که ممکن است سوالات آنچنانی از بنده هم بشود. با توکل بر خدا روی صندلی نشستم و شروع کردم.

غیر از نرم افزارهای مربوط به ریاضی با نرم افزارها یا زبان های دیگر برنامه نویسی هم آشنایی دارید؟

بله کمابیش

نظرتون راجع به MATLAB چیه؟

از MATLAB زیاد استفاده نمی کنم. نیازهایم را با میپل و متمتیکا رفع می کنم. MATLAB نرم افزار بسیار خوب و وسیعی است به ویژه برای علوم پایه و فنی مهندسی.

مقالاتتون رو با چی می نویسید؟

معمولاً با WinEdt

با Latex آشنایی دارید؟

بله

مقالات فارسی رو چی؟

با Ftex

فارسی تک رو می شناسید؟

بله

زبان انگلیسیتون در چه حدیه؟

به لطف خدا بد نیست.

کلاس کنکور هم درس میدید؟ به نظرم پاسخ منفی باشه چون با روحیاتتون سازگار نیست. ولی میدونید چقدر پول توشه؟ حیفه ها.

خودتان جواب بنده را دادید. پولش ارزانی عشاق آن.

درآمدتون خوبه؟ راضی هستید؟

خوبه، در حدی که نیازهای معمولی زندگی را برطرف کند.

میتونم بپرسم در کدوم دانشگاه درس میدید؟

امسال در مراکز تربیت معلم و دانشگاه پیام نور زنجان بودم. سالهای گذشته هم در مرکز تحصیلات تکمیلی زنجان

جسارتاً می خواستم سوال کنم همسر مکرمه تون تحصیلاتشون چیه؟ آیا ایشون هم شاغلند؟

ایشان مدرک لیسانس دارند و دبیر آموزش و پرورش هستند.

خودتون اهل زنجانید؟

بله متولد زنجان هستم، اما زبانم ترکی نیست. مادرم تهرانی و پدرم نیز بزرگ شده ی تهران هستند.

در انتخاب همسر زیبایی ظاهری در اولویت چندم حضرت عالی بوده؟

اولین اولویتم نبود.

میگن افلاطون بالای در دانشگاهش نوشته بود هرکس هندسه نمی داند وارد نشود، واقعاً به نظر شما هندسه انقدر مهمه؟

در یونان باستان بله، اما هم اکنون اهمیت آن بیشتر از جبر و آنالیز که به نوعی مادر ریاضیات جدید حساب می شوند، نیست.

این نفرت جهانشمول اکثریت دانش آموزان از ریاضی معلول چیه؟

این قانون جهان شمول را شما چگونه کشف کرده اید؟! می دانید این قانون شما - حداقل در ایران - چقدر موارد نقض دارد!! نه برادر من، برعکس. در کشور خودمان و در بعضی از مدارس که تعداد آنها کم هم نیست، بیشترین آمار مدرسه متعلق به دانش آموزان ریاضی است. بچه ها فراری نیستند، سیستم آموزشی کشور پر از نقص است. شما برای امثال استاد پرویز شهریاری و دکتر بهزاد در رسانه ها به ویژه صدا و سیما و در آموزش و پرورش و دانشگاه شرایط ارتباط با عموم مردم به ویژه دانش آموزان را فراهم کنید و بگذارید آنها از سرچشمه های ناب ریاضیات سیراب شوند، ببینید چگونه مردم به سمت ریاضیات هجوم می آورند. بنده خودم بارها و بارها تجربه کرده ام. وقتی توفیقی پیدا می کنم و عاشقانه تدریس می کنم، دانش آموزان و دانشجویان چنان به سمت ریاضی جذب می شوند که حسابی باعث زحمت بنده می شوند. البته توجه کنید که لزوما همه نباید ریاضی دان شوند. ریاضی خواندن صبر و حوصله و استعداد خاص می خواهد که خوب در همه موجود نیست.

اخیراً یکی از اقوام ما که در آمریکا استاد دانشگاهه می گفت تمام دانشجویان از دروس ریاضی فراری هستند. دنبال رشته ای هستند که کمترین واحد ریاضی رو داشته باشه. آیا همه اینها تقصیر معلمینه؟

در آمریکا را نمی دانم، اما توضیح دادم در اینجا نه.

من چندساله یک سوال ریاضی ذهنم رو مشغول کرده. و اون اینه که اگر شما واحدی در اختیار داشته باشید، مثلاً یک نخ یا یک میله، چطور می تونید ریشه سوم 2 رو با اون بکشید؟ مثلاً ریشه دوم 2 وتر مثلث قائم الزاویه میشه دیگه. ولی ریشه سوم چی؟

این اعداد را اعداد جبری گوییم. فهم این مباحث هم نیازمند به آشنایی با نظریه گالوا است. این سوال را در اتاق ریاضیات مطرح کنید مفصلاً خدمتتان خواهم بود.

چرا دوست ندارید شکسته بنویسید؟ منظورم شبیه محاوره است.

چرا بارها به طور محاوره ای نوشته ام. اما برای مباحث جدی، آنرا خیلی مناسب نمی دانم.

چند تا مقاله در ژورنال های معتبر علمی دارید؟ که در ISI هم ایندکس شده باشه؟ میشه لااقل عنوان یکیشو بفرمایید که من برم بگیرم ببینم چیه. هرچند مطمئنم نخواهم فهمید.

اجازه دهید به این سوالتان کامل جواب ندهم. اگر خواستید عبارت M. Mofidy Ahmedy را در گوگل جستجو کنید. به یکی دو مورد دست خواهید یافت.

میشه به جوایز ارزنده سوالات هفتگی یه اشاره ای بکنید؟!

نه

آقا سوالا خیلی سخته ها. ملت فراری میشن.

برای همینه که فرت و فرت مساله ها رو حل می کنید؟!!

آيا رياضيات واقعا اونطوري كه رايج هست ميگن، علم خشك و غير قابل انعطافي هست؟

بستگی به دید و شناخت آدمها دارد. بعضی بیابان را خشک و بی آب و علف و عاری از هر گونه زیبایی و بعضی بیابان را از زیباترین جلوه های طبیعت می دانند. بنده نظر خودم را عرض می کنم. رياضيات نه تنها علم خشك و غير قابل انعطافي نیست، بلکه از زیباترین و قابل انعطاف ترین علوم بشری است. اجازه دهید دو مثال بزنم:

همان مثال بیابان را در نظر بگیرید. اگر فرد ناآشنایی را بدون هیچ توشه ای و راهنمایی در آن رها کنید، این فلک زده بعد از مدتی سرگردانی زیر گرمای طاقت فرسای آن تلف خواهد شد. اگر خیلی شانس بیاورد و به آبی یا برکه ای یا کسی برخورد و از مرگ حتمی نجات پیدا کند، تا آخر عمر از بیابان متنفر خواهد بود. اما کسی را فرض کنید که از قبل اطلاعات جامعی از بیابانها دارد و فایده آنها را برای ادامه ی حیات در کره ی زمین می داند و از طرف دیگر کسی با اوست که به راههای بیابان آشنا ست و نقشه ای دقیق همراه با توشه ای کافی در اختیار دارد، در اینصورت بیابان برای این شخص نمادی از زیبایی و عظمت خواهد بود و به راحتی سختی های مسافرت در آن را تحمل می کند و خاطرات زیبای آن را هرگز فراموش نمی کند.

باغ مصفا و زیبایی را تصور کنید که برای رسیدن به آن چندین راه مختلف وجود دارد. چند راه طولانی و چند راه کوتاهتر. آیا کسی که فقط از راه طولانی و خسته کننده به آن به آن باغ مشرف می شود، حق دارد بگوید چرا این باغ اینقدر خشک و غیر قابل انعطاف است؟! مطمئناً خیر، چرا که می توانست قبل از رسیدن به باغ پرس و جو و راه کوتاهتر را انتخاب کند. از طرف دیگر حتی اگر با زحمت فراوان راه طولانی را طی کرد، بعد از رسیدن به باغ باز هم لذت می برد و گاهی سختیهای مسیر را هم فراموش می کند و در کنارش به این تجربه ذیقیمت دست می یابد که باید قبل از طی طریق، استاد طریقت را یافت و راه درست را ازو پرسید. حال فرض کنید او برای رسیدن به این باغ زیبا که در آن گنجی گرانبها نهفته است و به آن گنج هم نیاز مبرم دارد، زحمت می کشد اما از راه آن وارد نمی شود و به باغ هم نمی رسد آیا می تواند اعتراض کند که ای کاش باغ نبود و این باغ به چه درد من می خورد؟!

ریاضیات به تعبیری همان بیابان وسیع و بی انتها و به تعبیر دیگر همان باغ مصفاست. اینکه تحصیل در رشته ریاضی یا حل مسائل آن سخت است، درست. اما اگر از راه آن وارد شویم و در این راه از معلم و استاد خوب و دلسوزی که خود قبلاً این راه را طی کرده مدد جوییم و سخنانش را بر دیده ی منت نهیم و پشتکار و صبر را هم ضمیه ی آن کنیم، به لذتی وصف ناشدنی خواهیم رسید.

يه خاطره ي زيبا از دوران تدريس خودتون بفرماييد.

با اجازه ی شما سه خاطره خدمتتان عرض می کنم. البته برای خودم خیلی زیبا هستند.

- اوایل شروع تدریسم بود و در امر تدریس نیز بسیار جدی و سخت گیر بودم. کلاسی هم به تور من فلک زده خورده بود که در آن اراذل و اوباش حکومت می کردند. حال چه مصیبتهای کشیدم بماند. روزی این کلاس، بنده را به فوتبال دعوت کرد و بنده هم قبول کردم. وسط بازی قرارشد که پنالتی را من بزنم. سطح حیاط مدرسه هم شیب دار و لازم بود کسی توپ را با پایش نگاه دارد و کسی دیگر پنالتی را بزند. بنده از توپ فاصله گرفتم و با سرعت به سمت توپ دویدم تا آنرا شوت کنم. هنگامی که خواستم به توپ ضربه بزنم در همان لحظه دانش آموزی که توپ را با پای خود نگاه داشته بود، توپ را از زیر پای من خالی کرد و بنده با کله روی زمین افتادم و صدای خنده ی بچه ها هم فضا را پر کرد. بعد فهمیدم که این کارشان قبلا برنامه ریزی شده بود!!

- روزی خواستم تناظر یک به یک را برای دانش آموزان سال اول دبیرستان توضیح دهم. به چند نفر از آنها گفتم که سر تخته سیاه بیایند. به همگی فرمان دادم!! که کفش های مبارک را از پا در بیاورند و روی هم بریزند (در مرحله بعد می خواستم هر یک کفش خود را بردارد تا مفهوم تناظر یک به یک را توضیح دهم). بعد از اینکه بچه ها کفش هایشان را در آوردند، انگار زلزله ای در کلاس اتفاق افتاده بود. یکی جوراب نداشت، یکی با جورابهای سوراخ مدرسه آمده بود، یکی جورابهایش به قدری کثیف بود که حال آدم را به هم می زد، یکی پایش چنان عرق کرده بود که می توانست موزائک ها را مهر بزند. به این بلبشو اضافه کنید بوی گند جورابها را که فضای اتاق را معطر !! کرده بود و داشتیم خفه می شدیم. بالاخره مجبور شدیم پنجره را باز کنیم و این فعالیت فرح بخش علمی را ادامه دهیم.

- اواسط زمستان بود و با مینی بوس عازم شهرستان شدیم برای تدریس. آنهم ساعت 5 صبح. اواسط راه چنان برفی باریدن گرفت که جاده به طور کامل پوشیده شد و جاده را از کناره های آن نمی توانستی تشخیص دهی. به همین دلیل ماشین از جاده خارج شد و در گل و لای اطراف جاده گیر کرد. به ناچار آقایان از مینی بوس خارج شدند تا هر طور شده مینی بوس را از داخل برف و گل و لای خارج کنند. بارش برف به قدری شدید بود که چشم چشم را نمی دید. باور کنید حدود یکساعت طول کشید که ماشین را نجات دهیم و در این گیر و دار ساعتم هم خورد و خمیر شد. بعد از اینکه سوار ماشین شدیم برای اینکه باز هم از جاده خارج نشویم یکی از آقایان بیرون از ماشین روی جاده حرکت می کرد و ماشین هم پشت سر او!! باید ساعت 7.5 در مدرسه حاضر می شدیم، ساعت 10.5 رسیدیم آنهم با وضعیتی دیدنی. جالبتر این که برای بنده غیبت زدند و از حقوق بنده هم کسر شد!!

نظرتون راجع به وضعيت كلي معلمان، مدرسان و آموزگاران در كشورمون چي هست؟

هر چند بنده مخالف بعضی شایعات هستم که وضعیت معلمان کشور را فلاکت بار می داند اما وضعیت معلمین اصلا مناسب شان و عظمت مقام آنها نیست. به خداوندی خدا قسم باید دست و پای آنها را بوسید. معلمین سالخورد ه ای را می شناسم که دانش آموزانش هم اکنون دکتر و مهندس و استاد دانشگاه هستند و حتی به مقامات بزرگ مملکتی رسیده اند اما معلمشان هم اکنون گرد پیری بر جبین نشسته، از مشکلات مادی بسیار رنج می کشد و دم بر نمی آورد. به یاد نمی آورند که او برای تربیتشان صبح و شبش یکی بوده و نمی دانند یا نمی خواهند بدانند که هر چه دارند از صدقه سری همین معلمین دارند. با وضعیتی که هم اکنون نظام آموزش و پرورش کشور دارد بعید است به این زودیها مشکلات مادی و معنوی معلمین حل شود. متاسفانه مدیر شجاع، لایق و توانا به ندرت در این وزارتخانه ی عریض و طویل پیدا می شود و ...

تا حالا شده با دانش آموزي برخورد داشته باشين كه مسايل رو نياز هست چندين بار براش توضيح داده بشه تا متوجه بشه؟

بله بسیار زیاد، ما معلمها به این چیزها عادت کرده ایم.

چه طوري مساله اي رو براي اين طور دانش آموزان تفهيم مي كنين؟

مثالهای متفاوت، تکرار مثالها، امید دادن به او، تشویق او و در نهایت اجبارش به حل تمرینات اضافی

بهترين فايده ي رياضيات در زندگي شخصي شما چي بوده تا الان؟

اگر حرفم را شوخی فرض نکنید، گرداندن خانواده!!!

نظر تون در باره اینکه میگن ریاضی اثبات نشدنی هست چیه؟
نظرتون در مورد اینکه میکن وجود خداوند را از طریق ریاضیات اثبات کرده اند (توسط عده ای از جمله مهندس بازرگان) چیه؟
نظرتون در رابطه با اثبات عدم وجود خداوند توسط کمونیست ها از طریق ریاضی چیه ؟

قبلا توضیحاتی را در باره ی سوال اول خدمتتان عرض کردم. سعی می کنم درباره ی دو سوال بعدی کمی بیشتر توضیح دهم. ابتدا خواهش می کنم نظر بنده را قطعی فرض نکنید. بنده استدلال شخصی خودم را بیان می کنم. برای توضیحات بهتر باید به یک متخصص فلسفه ی اسلامی که از ریاضیات نیز اطلاعات جامعی دارد، مراجعه کنید.

آغاز این بحثها و استدلالها احتمالا بر می گردد به سالهای ملی شدن صنعت نفت. در آن زمان علوم غربی در ایران به شدت ترویج می شد و هر کس که می خواست نظریه ای را اثبات یا رد کند باید از اندیشه های فیلسوفان غربی برای به کرسی نشاندن استدلالهای خود استفاده می کرد. این نظریات وحی منزل تصور می شدند و به ندرت کسی را یارای مبارزه با این عادت خطرناک بود. مباحثی همچون وجود یا عدم وجود خداوند هم از مباحث داغ روز بود و به ویژه حزب توده با اندیشه های ماتریالیستی خودش - که به ظاهر بسیار مترقی و عالمانه بود - جوانان بسیاری را جذب کرده بود. افرادی دلسوزی همانند مهندس بازرگان و مرحوم دکتر شریعتی که در میان دانشجویان شهرت بسیاری داشتند، به دنبال راهی برای جذب جوانان به سمت اسلام بودند. از طرف دیگر به مفاهیم ناب اسلامی - همچون فلسفه ی ملاصدرا - تسلط لازم را نداشتند، چون تخصص آنها چیز دیگری بود. بنابر این با استفاده از مفاهیم جدید روز سعی می کردند مفاهیم اسلامی را اثبات - یا به طور درست تر توجیه کنند. احتمالا مطالبی که شما بیان کردید در همین زمان توسط مهندس بازرگان مطرح شد و اگر اشتباه نکنم با اعتراض امثال شهیدان بزرگوار مطهری و بهشتی مواجه شد.

استدلال بنده به طور خلاصه برای پوچی اینگونه استدلالها:

در یکی از پستهای قبل عرض کردم که سه فلسفه ی اصلی در ریاضیات وجود دارد: منطق گرایی که ریاضیات را شاخه ای از منطق می داند و راسل چهره ی معروف این نظریه است، شهود گرایی که اعداد طبیعی و چیزی شبیه استقراء را اساس ریاضیات می داند و اولین مبتکر آن براوئر بود و در آخر فلسفی صوری گرایی که ریاضیات را مجموعه ای از اصل موضوع ها همراه با دستگاه های نمادی صوری می داند و توسط هیلبرت بنا شد. هر کدام از طرفداران این فلسفه ها، فلسفه ی دیگر را به نقد می کشد و آنرا با دلایل خود ناقص می شمارد.

حال دقت کنید. در ریاضیات هر قضیه ای براساس یکی از این سه فلسفه بنا می شود. اگر قضیه ی ما این باشد که «خدا وجود دارد» و یا «خدا وجود ندارد» و بخواهیم آنرا اثبات کنیم به ناچار باید بر اساس یکی از فلسفه های بالا استدلال کنیم که آنوقت با توجه به نقایص هر یک از این فلسفه ها اسمش «استدلال» نخواهد بود زیرا کلمات «خدا» و «وجود» در هیچ یک از این فلسفه ها دارای معنا و مفهوم نیستند و اصولا این دو موضوع ربطی به ریاضیاتی که از این فلسفه ها ناشی می شوند، ندارند.

نظرت درباره طرح سهميه بندي بنزين رو برامون توضيح ميدي؟

فکر می کنم اگر منصفانه به این طرح نگاه کنیم، تصدیق خواهیم کرد که بالاخره باید روزی این طرح اجرا می شد. تغییر ذائقه هم خوب بسیار سخت است به ویژه برای ما ایرانیها که در مصرف گرایی و اسراف باید جایزه نوبل بگیریم!! ترافیک کم نظیر و وقایعی هم که در تهران در آن شب تاریخی اتفاق افتاد به نظر بنده طبیعی بود هر چند میشد با برنامه ریزی و پیش بینی های قبلی خسارتها را کمتر کرد.

جوک جدید را که هم شنیده اید: مهریه ی خانمها امسال، 1386 لیتر بنزین

نظرتون در مورد سمپاد چیه؟

سازمان ملی پرورش استعدادهای درخشان!!

یک نفر میتونه بدون کلاس تقویتی وارد این مدارس بشه؟

بله

+ نوشته شده در دوشنبه هجدهم تیر ۱۳۸۶ ساعت ۱:۴۴ ب.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی

جلسه ی دوم (اعداد حقیقی - قدر مطلق - بازه ها)

صفحه اصلی وبلاگ (آدرس جدید http://www.ep-math.coo.ir/)

حل و بحث مسائل کتاب حسابان جدید و رفع اشکال

موضوع: اعداد حقیقی - قدر مطلق - بازه ها

اعداد گویا و اعداد گنگ (اصم) را تعریف کنید.
معرفی چند عدد گنگ به وسیله بسط اعشاری آنها:

اعداد زیر همگی اعداد گنگ هستند (چرا؟) :

$1.23456789101112131415...$

و

$0.101001000100001000001...$

و

. $2.46810121416...$
به همین ترتیب می توان بی نهایت عدد گنگ ساخت (تنها کافیست بسط اعشاری این عدد هیچ دوره ی تناوب یا دوره ی تکراری نداشته باشد). بنابر این فقط $\cdots ,\pi ,\cdots,\sqrt 5 ,\sqrt 3 ,\sqrt 2$ اعداد گنگ نیستند.
اعداد $\cdots ,\sqrt n , \cdots ,\sqrt 4 ,\sqrt 3 ,\sqrt 2$ را فقط با استفاده از خط کش و پرگار روی خط اعداد حقیقی مشخص کنید. (آیا می توانید به همین وسیله «عدد پی» را روی خط اعداد حقیقی مشخص کنید؟!)
تعریف جبری |x| (قدر مطلق x )، که x عددی حقیقی است:

$\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l} x\quad \,\;\,\,\,\,\,x > 0 \\ 0\quad \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \\ - x\;\,\,x < 0 \\ \end{array} \right.$
تعریف هندسی |x|: قدر مطلق x عبارت است از فاصله عدد x از مبداُ مختصات. به همین دلیل برای هر x داریم: $\left| x \right| \ge 0$ و نیز می توان نوشت: $\left| x \right| = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .
اگر a و b دو عدد حقیقی باشند، آنگاه |a-b| عبارتست از فاصله ی بین a و b؛ به همین دلیل می توان نوشت:
|b-a|=|a-b|
فرض کنید a عددی حقیقی و b عددی نامنفی باشد، در اینصورت می توان نوشت:

(الف) $\left| a \right| \le b \Leftrightarrow - b \le a \le b$

(ب) $\left| a \right| \ge b$ اگر و فقط اگر $a \ge b$ یا $a \leq- b$ .

توجه: اگر در (الف) و (ب) همه جا تساویها را برداریم، باز هم عبارات درستی خواهیم داشت.
با توجه به نکته ی پنجم، تعبیر هندسی نکته ی 7 را بیان کنید.
بازه های زیر را با استفاده از نماد مجموعه تعریف کنید و آنها را روی خط اعداد حقیقی نمایش دهید(a و b اعداد حقیقی هستند و a از b کوچکتر است):

$[a,b],[a,b),(a,b],(a,b)$
و

$[a, + \infty ),( - \infty ,a],(a, + \infty ),( - \infty ,a),( - \infty , + \infty )$

چند نکته ی دیگر:

حل چند مساله از مسائل کتاب:

تمرین ۱ صفحه ی ۴:

نشان دهید نقطه ی میانی بازه ی (a,b) برابر است با $\frac{a+b}{2}$ .

حل مساله:

دو عبارت $\left| {a-\frac{a+b}{2}} \right|$ و $\left| {b-\frac{a+b}{2}} \right|$ را محاسبه کنید و نشان دهید این دو با یکدیگر برابرند. بنابر نکته ی 6 نتیجه بگیرید که فاصله ی $\frac{a+b}{2}$ از a و b یکسان است.

تمرین 3 صفحه ی ۴:

در هر نامساوی مجوعه ی جواب x را مشخص کنید:

الف) L015

ج) L016

د) L017

حل مساله:

الف) L018

ج) بر اساس نکته ی 7 می توان نوشت(از راست به چپ):

L019 یا L020 یا L021

L022

د) L023

حل مسائل امتحانات نهایی هم موضوع با این جلسه:

۱- نامعادله زیر را حل کنید:

L024

ناحیه ی2 زنجان، خرداد 81
بارم: 1 نمره

حل مساله:

بنابر نکته 7 (الف)، می توان نوشت:

L025

حال فرض کنید L026 . بنابر این

L027

حال فرض کنید L028 . بنابر این

L029

جواب مساله مجموعه ی زیر خواهد بود:

L030

(سوال: آیا می توانید مساله ی بالا را تعمیم دهید؛ یعنی مساله زیر را حل کنید؟
فرض کنید c،b،a و d اعداد حقیقی باشند. نامعادله ی L031 را حل کنید. )

18 تیر 1386

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و هفتم خرداد ۱۳۸۶ ساعت ۱۱:۴۱ ق.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی

روشهای درست مطالعه ی ریاضیات - به ویژه حسابان - چیست؟

صفحه اصلی وبلاگ (آدرس جدید http://www.ep-math.coo.ir/)

حل و بحث مسائل کتاب حسابان جدید و رفع اشکال

بسم الله الرحمن الرحیم

«مقاله ی زیر قبلاْ در بخش ریاضیات سایت p30world توسط اینجانب منتشر شده بود.»

یکی از دوستان خوب دانش آموز، در نامه ای خصوصی سوالی قریب به مضمون زیر را مطرح کردند:

«من دانش آموز سوم دبيرستان رشته ي رياضي هستم و در يكي از دبيرستانهاي شيراز درس ميخوانم.
آقاي مفيدي من رياضیات و فيزيكم خوبه و در سطح بالاست اما امسال ميخوام طوري باشم كه هم در تست و هم در تشريحي موفق ترين باشم چه در حسابان و ...
لطفا منو راهنمايي كنيد كه چه جوري بخونم و روزي چه قدر، چه درسهايي رو مطالعه كنم كه آمادگي براي هر گونه تست و تشريحي رو داشته باشم و از چه کتابهایی استفاده كنم»

بنده به عنوان یک معلم کوچک، این سوالات را بارها و بارها شنیده ام و متناسب با فرد سوال کننده به آن پاسخ داده ام. سوال این دوست عزیز، بهانه بسیار خوبی است که در اینجا به طور مفصل به این پرسشها - که کاملا به حق و مورد نیاز بسیاری از دانش آموزان و حتی دانشجویان است - پاسخ دهیم و صد البته با این کار به یکی از اهداف این وبلاگ نیز جامه عمل بپوشانیم. سعی می کنیم فقط در همینجا اینگونه سوالات پاسخ دهیم و از دوستان دیگر نیز انتظار داریم که با نقد مطالبی که خدمتتان تقدیم می شود و یا با ارائه تجربیات خود در حد امکان به اینگونه سوالات پاسخ دهند.

«یا علی مدد»
-----------------------------------------------------------------

سوال بالا را به دو مرحله تقسیم می کنیم:

(الف) چگونه می توان کتب درسی ریاضی را به طور عمقی مطالعه کرد؟
(ب) چگونه می توان در تست زدن موفق شد؟ آیا واقعاً راه میانبری - همانگونه که بسیاری از موسسات کنکور ادعا می کنند - وجود دارد؟

به هر یک از دو سوال بالا به شیوه ترتیبی و البته به صورت کاملا خلاصه پاسخ می دهیم. دوستان عزیز در هر مورد ، اگر ابهامی دیدید بفرمایید تا درباره آن بیشتر بحث کنیم.

پاسخ سوال (الف):

1- برای خودتان برنامه هفتگی داشته باشید به گونه ای که اگر کسی از شما پرسید مثلاً روز دوشنبه ساعت 10 صبح یا پنجشنبه ساعت 5 بعد از ظهر قرار است چه کنید، برای آن پاسخ دقیقی داشته باشید. برنامه شما باید کاملا متعادل و به دور از هر گونه افراط و تفریط باشد. یک نوجوان دانش آموز و یا یک جوان دانشجو برای پیشرفت خود، غیر از فعالیتهای عمیق علمی متناسب با رشته خود، احتیاج به استراحت و خواب مناسب (حداقل 7 ساعت)، ورزش، دیدار دوستان و آشنایان، شرکت در فعالیتهای عبادی، اجتماعی، فرهنگی و سیاسی، دیدن برنامه های تلوزیونی، مطالعات غیر درسی مانند مطالعه روزنامه ها، مجلات، رمان و ... دارد. برنامه را به گونه ای طراحی کنید که اولا همه فعالیتهای لازم (حتی خواب و بیداری و غذا خوردن) شما را پوشش دهد و ثانیا شما را خسته نکند. توجه کنید که همه روشهای مطالعه که بعد از این توضیح خواهیم داد، باید تحت همین برنامه سازماندهی شود.

2- متن درس را مانند کسی بخوانید که می خواهد آنرا تدریس کند. حال ببینیم یک معلم خوب قبل از تدریس چه می کند: او با استفاده از تجربیات قبلی خود، ابتدا درس را کاملا و به طور عمیق مطالعه و سپس از مطالب آن خلاصه برداری می کند. به مطالب و تمرینات کتاب بسنده نمی کند و به وسیله کتب معتبر ، مطالب و مسائل جدید و جالبی به طرح درس خود می افزاید. گاهی هم برای اینکه بهتر و راحت تر تدریس کند، جداولی تهیه می کند و یا وسایلی با دست خود می سازد.

بنابر این «اگر می خواهید خوب بخوانید، همانند یک معلم بخوانید.» اگر برایتان امکان دارد درس را برای دیگری تدریس کنید و به او اجازه دهید از شما سوالاتی درباره همان درس بپرسد. اگر چنین امکانی برایتان نیست، بعد از مطالعه و خلاصه برداری، کتاب را کنار بگذارید و همانند یک معلم همان درس را برای خودتان تدریس کنید. دقت کنید که میزان مهارت شما در تدریس یک درس معمولا برابر است با میزان فهم مطالب آن درس توسط شما.

3- خودتان را به فکر کردن روی مساله های ریاضی عادت دهید. توجه کنید که بسیاری از مسائل خوب به راحتی حل نمی شوند بنابر این اگر در حل هر مساله ای موفق نشدید، ناامید نشوید. برای حل مسائل تلاش کنید هر چند اگر ساعتها و روزها وقت شما را بگیرد. از وقتهای اضافی (هنگام پیاده روی - ایستادن در صفهای مختلف اتوبوس، خرید نان و ...) برای حل مسائل و فکر کردن روی آنها استفاده کنید. روی مسائل کتابهای درسی خود خوب فکر کنید و برای حل آنها وقت بگذارید اما به آنها اکتفا نکنید. همیشه یک مساله جدید برای حل در ذهنتان داشته و به دنبال مسائل جدید باشید. از هیچ مساله ای نترسید. از مسائل مربوط به المپیادهای سالهای گذشته کشوری و بین المللی اطلاع داشته باشید و اگر فرصت کردید راه حل آنها را نیز پیدا کنید. در کل سعی کنید دایرة المعارف مسائل ریاضی ذهنتان را -یعنی مجموعه مسائلی که دیده اید نه مسائلی که حل کرده اید- دائماً توسعه دهید. اگر چند ماه خودتان را به این کارها عادت دهید، مسائل کتابهای درسی - و نتیجتاً تستهای کنکور- برایتان کاملا پیش پا افتاده خواهد شد. به امید خدا در همین تایپیک به بعضی از کتابهای معتبر مساله نیز اشاره خواهد شد.

4- مسائل جدید طراحی کنید. متن بعضی از مسائل کتاب را (بعد از حل آنها) به گونه ای مناسب تغییر دهید و سپس آنرا حل کنید. مثلا صورت و مخرج مساله را با هم عوض کنید، مثبها را منفی و منفی ها را مثبت کنید، اعداد را تغییر دهید، به مساله یک رادیکال اضافه یا کم کنید، اگر مساله ای با یک فرض به شما داده شده است فرض را بردارید و بررسی کنید که آیا مساله بدون آن فرض نیز درست یا نه، اگر درست است آنرا بدون آن فرض حل کنید و اگر درست نیست برای آن، مثال نقض ارائه کنید. بررسی کنید که آیا عکس مسائلی که به صورت شرطی داده شده اند درست است یا نه و ...

5- روی بعضی از مسائل گروهی کار کنید. می توانید چند مساله (از کتاب یا خارج آن) انتخاب و بین خود تقسیم و در فرصتی که معین می کنید روی آنها کار کنید و سپس راه حلها را با یکدیگر بررسی نمایید و اگر توانستید راه حل این مسائل را با معلمین خود نیز در میان بگذارید.

6- از مطالعه مجلات ریاضی (همانند «مجله برهان» و یا «رشد ریاضی») غافل نشوید. این مجلات تاثیر بسیار خوبی روی خواننده خود می گذارند.

7- اما آخرین پیشنهاد در این قسمت: در مسابقات علمی شرکتی فعال داشته باشید، چه در آنها برنده شوید، چه نشوید. اگر در شهر شما دانش آموزانی هستند که در مسابقات ریاضی موفق بوده اند، با آنها ارتباط علمی برقرار و از تجربیاتشان استفاده کنید. در حد توانتان در سمینارهای علمی مدرسه، شهر و ... شرکت کنید و اگر می توانید برای این سمینارها مقاله ای بنویسید و در آنها درباره کارتان سخنرانی کنید. گاهی هم به دانشگاههای شهرتان سری بزنید و اگر اجازه دادند از کتابخانه و فضای علمی آنجا استفاده کنید.

پاسخ سوال (ب):

به راستی آیا واقعاً راه میانبری در تست زنی- همانگونه که بسیاری از موسسات کنکور ادعا می کنند - وجود دارد؟ آیا واقعاً می توان دانش آموزی را که پایه علمی او بسیار ضعیف است با این به اصطلاح «روشهای من درآوردی» به رتبه های اول کنکور رساند و قبولی او را در دانشگاه تضمین کرد؟! مطمئن باشید که چنین راهی وجود ندارد! دلیل آن نیز -غیر از تجربه های این حقیر و سایر همکارانم- رتبه اولی های کنکور هستند. سالهاست که بسیاری از رتبه های اول کنکور در مصاحبه های خود بیان می کنند که حتی یک کلاس کنکور هم ندیده اند و عامل موفقیت خود را بعد از توکل بر خدا و زحمات پدر و مادر و معلمینشان، تلاش و کوشش خود می دانند و معمولا به این نکته هم اشاره می کنند که از اولین روزهای ورورد به دبیرستان درسها را خوب و عمیق خوانده اند و آنرا به روزهای نزدیک کنکور حواله نکرده اند. متاسفانه تبلیغات کاملاً حساب شده ای که سالهاست موسسات کذایی کنکور حتی در رادیو و تلوزیون به راه انداخته اند کار خود را کرده و باعث تغییر ذائقه علمی خانواده ها شده است به طوریکه با نهایت تاسف بسیاری از پدر و مادران عزیز ما قبولی فرزندانشان در کنکور را مساوی شرکت آنها در موسسات کنکور می دانند که البته این تغییر ذائقه به نفع جیب مبارک این موسسات هم تمام شده است و بد نیست بدانید که طبق آماری، مجموع پولی که موسسات کنکور کشور سالیانه به جیب می زنند تقریبا برابر است با پولی که از صنعت نفت عاید کشور می شود(!!!) بنابر این بهتر است نام بعضی از این موسسات را «کارخانجات صنایع کنکور» بگذاریم. این را به تجربه خدمتتان عرض می کنم - و با تحقیق کوچکی خودتان نیز به آن دست می یابید- که اکثریت کسانی که نامشان در بروشورهای تبلیغاتی یا در تبلیغات صدا و سیمای موسسات کنکور به عنوان قبولیهای رتبه های اول دانشگاه از آن موسسه آورده می شود از دانش آموزان باسواد و معدل بالای دبیرستان هستند که اگر در آن موسسه شرکت هم نمی کردند در دانشگاه قبول می شدند. فکر می کنید چند درصد از این دانش آموزان از آنهایی بوده اند که سطح معلومات علمیشان از متوسط به پایین است و با معجزه این آقایان به دانشگاه راه یافته اند؟! اگر هم چنین افرادی در میان قبولیها پیدا شود اولا درصدشان بسیار پایین است، ثانیاً خودشان هم بسیار تلاش کرده اند و اگر همین تلاش را بیرون از موسسه می کردند چه بسا رتبه بهتری می آوردند. حتی اگر چنین افرادی به طور کاملا تصادفی و به قول خودشان با کلکهای کنکوری- و یا علل دیگری که درست نیست در اینجا درباره آنها صحبت کنیم - در دانشگاه قبول شده اند تازه اول بدبختی آنهاست. اینها معمولا در دانشگاه دوام نمی آورند و یا با هزار بدبختی و فلاکت فارغ التحصیل می شوند. حال با این مقدمه طولانی سعی می کنیم به سوال قسمت (ب) پاسخ دهیم:

1- مطمئن شوید که دروس ریاضی را به طور عمقی مطالعه کرده اید، روی مسائل ریاضی داخل و خارج کتاب به اندازه لازم فکر کرده اید و موفق به حل بسیاری از آنها شده اید. از لحاظ روانی خود را متقاعد کنید که قوت و قدرت علمی لازم را برای رقابت با دیگران در مسابقه ای به نام کنکور به دست آورده اید. به طور خلاصه مطمئن شوید که در حد توانتان به مراحل قسمت (الف) -که در بالا به آنها اشاره شد - عمل کرده اید. توجه کنید که این مرحله بسیار مهم است و بدون عبور از این مرحله به هیچ عنوان نباید وارد مراحل بعدی شوید.

2- تستهای «خام» ریاضی ده سال اخیر کنکور سراسری را تهیه کنید. به عبارت «خام» توجه کنید. تستها دقیقا باید همانهایی باشند که در کنکور سراسری بدون هیچ گونه دخل و تصرفی به داوطلبان داده شده است. در بعضی از کتابها تستها به صورت طبقه بندی شده و موضوعی هستند. این گونه کتابها و جزوات برای این مرحله مناسب نیستند.

3- بعد از تهیه این تستها، سوالات کنکور دو سال اخیر را کنار بگذارید به گونه ای که جلوی چشمان شما نباشد. به اصطلاح آنها را در قرنطینه بگذارید. سپس چند روزی با فرصت مناسبی که برای خود کنار می گذارید، تستهای هشت سال باقیمانده را موضوع بندی کنید. به طور مثال سوالات سال 75 کنکور را بردارید و از تست اول شروع کنید. با دقت تمام تعیین کنید که این تست مربوط به کدام کتاب درسی و کدام موضوع و فصل آن کتاب است و این موارد را یادداشت کنید. (در این مرحله لازم نیست که خود تست را حل کنید.) همین کار را تا تست آخر انجام دهید. بعد از اتمام این کار، تستهای هم موضوع را کنار یکدیگر در دفتری یادداشت کنید و سپس برای خود آماری از این موضوعات تهیه کنید که مثلا چند درصد از تستها در موضوع توابع، حد و پیوستگی، مشتق ، انتگرال ، خط و صفحه، ماتریسها، مثلثات، محاسبات لگاریتمی و ... هستند. همین کارها را برای سالهای دیگر نیز تکرار کنید و در آخر، درصد موضوعی تستهای این هشت سال را محاسبه کنید. حال با نگاهی کلی می توانید حدس بزنید که از کدام موضوع بیشتر سوال طرح شده است و باید روی کدام موضوعات بیشتر کار کنید و اگر ضعفی دارید برطرف نمایید.

4- حالا شروع کنید و تستهای هم موضوعی که کمترین درصد آمار شما را دارند حل کنید. در حل تستها عجله نکنید. آنرا به عنوان یک مساله نگاه کنید نه به عنوان تست. مطمئن باشید که اگر درسها را به خوبی خوانده باشید و روی مسائل مختلف فکر کرده باشید، حل این تستها برایتان به هیچ عنوان سخت نخواهد بود. اگر موفق به حل تست شدید ، حل آنرا هم یاداشت کنید. اگر نتوانستید تست را حل کنید بلافاصله به جواب آن مراجعه نکنید و برای حل این تست تلاش کنید حتی اگر یکساعت هم وقت شما را بگیرد. اگر باز هم موفق نشدید به راه حل آن مراجعه کنید و اگر راه حلی در اختیارتان نبود وارد حل تست بعدی شوید و بعدا روش حل تستی که از عهده حل آن بر نیامده اید از معلمین یا دوستانتان بپرسید و روش آنرا هم در دفتر یاداشت کنید. به هیچ عنوان از اینکه نتوانسته اید تست را در چند ثانیه حل کنید مایوس نشوید. سرعت تست زنی شما با سماجت شما در حل تستهای اولیه افزایش خواهد یافت. همین کار را برای موضوعات دیگر نیز که درصد بالاتری دارند به ترتیب انجام دهید.
این روش شما را مجبور خواهد کرد که دائماً به کتاب و دفترتان مراجعه کنید و همین کار تجربه تست زنی شما را افزایش خواهد داد و در جلسه کنکور به دردتان خواهد خورد. شاید این مرحله روزها و هفته ها و شاید ماهها طول بکشد، اما بسیار کارساز است و ترس شما را از مواجهه با تستهای مشکل تقریبا از بین می برد.

5- بعد از اینکه مرحله چهارم به اتمام رسید، این مرحله را یکبار دیگر تکرار کنید. این بار سرعت حل تستها باید بیشتر شده باشد زیرا قبلا آنها را حل کرده اید. مطمئن شوید که جواب همه تستها را می دانید و راه حلها را هم کاملا مرور کرده اید.

6- حال شریط جلسه کنکور را برای خودتان در خانه یا کتابخانه های عمومی و یا جاهای دیگر مهیا کنید. مکان ساکتی که حواس شما را پرت نکند. یکی از تستهای کنار گذاشته شده را از قرنطینه خارج کنید و با توجه به زمانی که برای شما در کنکور تعیین می شود، تستها را حل کنید. در آخر ببینید چند درصد تستها را درست حل کرده اید و علت اینکه تستی را درست حل نکرده اید چیست. سپس با رعایت موضوع، روش حل تستها را در دفتر مربوطه بنویسید.

7- تمام مرحله 6 را یکبار دیگر با تست کنار گذاشته شده دوم انجام دهید و بار دیگر خودتان را بسنجید. در این مرحله باید سرعت تست زنی شما و تعداد تستهای درست، افزایش یافته باشد.

8- در این مرحله - البته در صورت داشتن وقت کافی- تستهای جدید طرح کنید و بعد از اینکه به تعداد مناسبی رسید، با این تستها از خودتان امتحان بگیرید و سرعت و مهارت خود را بسنجید.

9- بعد از طی مراحل بالا مجازید که کتابهای معتبر تست را تهیه کنید و با تستهای بیشتری آشنا شوید. آموزش و پرورش کتابهای تست خوبی در موضوعات مختلف منتشر کرده است که می توانید از آنها استفاده کنید. البته کتابهای خوب تست منحصر به این کتابها نیست.

10- در چند روز مانده به کنکور، مطالعه را متوقف و فقط خلاصه دروس و مطالبی که به طور موضوعی در دفتر حل تستها یادداشت کرده اید، مرور کنید و جداً از خسته کردن خود بپرهیزید که خستگی در جلسه امتحان بسیاری از تلاشها یتان را بر باد خواهد داد. برادرانه و خاضعانه به خواهران و برادران مومن خودم توصیه می کنم که با وضو و نیز با صلوات بر محمد و آل محمد و با توکل برخدا و توسل به اهلبیت عصمت و طهارت (صلوات الله علیهم اجمعین) در جلسه کنکور حاضر شوید و مطمئن باشید که نتیجه زحمات خود را خواهید دید و شهد شیرین موفقیت را خواهید چشید، انشاءالله.

موفق و موید و پیروز باشید.

=================================================

سوال دوم: براي المپياد رياضي بايد چه منابعي رو مطالعه كرد؟

به چند منبع معتبر اشاره می کنم (توجه داشته باشید که فرض بر این است که پایه علمی شما خوب است و ضعف خاصی در کتابهای درسی دبیرستان و پیش دانشگاهی ندارید. در غیر این صورت منابع زیر خیلی به دردتان نخواهد خورد):

1- کتابهای کار و راهنمای مطالعه دانش آموز (وزارت آموزش و پرورش - انتشارات فاطمی)

2- سری کتابهای کوچک ریاضی (انتشارات مدرسه)

3- المپیاد ریاضی در ایران- تالیف دکتر عبادلله محمودیان (موسسه علمی انتشارات علمی دانشگاه صنعتی شریف)

4- حل مساله از طریق مساله تالیف لورن سی. لارسن و ترجمه آقای علی ساوجی (انتشارات فاطمی)

5- پانصد مساله ریاضی پیکارجو تالیف باربو-کلامکین-موزر و ترجمه مهران اخباریفر (انتشارات فاطمی)

6- از اردوش تا کی یف تالیف هانس برگر و ترجمه علی ساوجی (انتشارات فاطمی)

7- کتابهای تکمیلی ریاضیات ( این کتابها در مراکز استعداد های درخشان به دانش آموزان تحویل داده می شود و یکی از منابع تدریس دبیران در این مراکز است) (انتشارات سمپاد)

8- کتاب روشهای جبر - تالیف استاد پرویز شهریاری (انتشارات امیرکبیر) (لازم به ذکر است که تمامی کتابهای تالیف شده یا ترجمه شده توسط این استاد گرانقدر و چهره ماندگار ریاضی منابعی عالی برای مطالعه دانش آموزان است.)

9- سری کتابهای ریاضیات پیش دانشگاهی (انتشارات مرکز نشر دانشگاهی)

10- کتاب «اثبات بدون کلام» تالیف راجر ب. نلسن ترجمه خانم سپیده چمن آرا (انتشارات فاطمی)

موفق باشید.

=================================================

سوال سوم: میشه کتابایی رو برای شروع ریاضی از آغاز تا ... معرفی کنین. میخوام ریاضی ام که از اول مشکل داشتم رو حل کنم . چون تصمیم گرفتم ریاضیم تــوپ بشه.

بهترین کتابها همان کتابهای درسی هستند. منتهی باید به روشی درست مطالعه شوند که در اول این صفحه در اینباره صحبت شده است.

موفق باشید.

=================================================
سوال چهارم: سلام
رياضي بسيار سخته
شبها هم براش كابوس مي بينم
يكي بياد يك چيز خوب در موردش بگه كه من با رياضي بتونم كنار بيام
چون عجيب گيرشم
با تشكر

دوست عزیزم، شنا بلدی یا نه؟ می دونی چه جوری باید شنا یاد گرفت؟ می شه خیلی ساده و خودمونی برام بگی که اگر یه نفر بخواد شنا یاد بگیره اما از غرق شدن، حسابی می ترسه باید چی کار کنه؟ خودش را در کنار نجات غریق به آب می زنه و ترسش رو از آب کمتر و کمتر می کنه. درسته که دفعه اول بسیار سخته، اما این کار رو حتما باید انجام بده. باور کن ریاضی ترسناکتر از اولین شنا در یک استخر شش متری نیست. تعداد کسایی که با ریاضیات کنار اومدن و از اون لذت می برن از کسایی که از ریاضیات خوششون نمی آد، اصلا کمتر نیست. این خودش نشون می ده که ریاضی اصالتا ترسناک نیست و باید دل رو به دریا بزنی و برای یکبار هم که شده به طور استاندارد ریاضی خوندن رو شروع کنی.

موفق باشید.

مهدی مفیدی احمدی

سوالات و مطالب خود را در اینجا مطرح فرمایید.

+ نوشته شده در شنبه بیست و ششم خرداد ۱۳۸۶ ساعت ۱۰:۴ ب.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی

آموزش حسابان-سال سوم ریاضی

صفحه اصلی وبلاگ (آدرس جدید epmath.99k.org)

بسم الله الرحمن الرحیم

مقدمه:

حسابان بدون شک، مهمترین درس برای دانش آموزان رشته ریاضی دوره ی دبیرستان است و بدون اغراق باید آنرا سلطان همه ی دروس تخصصی این رشته نامید. اولین برخورد دانش آموزان با مطالب حرفه ای ریاضیات معمولاً در این درس اتفاق می افتد. همین امر باعث می شود که بسیاری از دانش آموزان این درس را سخت و غیر قابل فهم بدانند و انواع و اقسام نفرینها را نصیب این درس زیبا و مظلوم کنند. در ترم اول- به ویژه در بحث توابع - مشکلات آموزشی دانش آموزان بیشتر است و لذا توجه بیشتری را از طرف دبیران محترم می طلبد. به تجربه دیده ام که وقتی صراحتاً در کلاس حسابان این مطلب را بیان می کنید که دانش آموزان در ترم اول باید بیشتر کار کنند و وقت بیشتری را برای این درس کنار بگذارند و هر کس در ترم اول خوب کار کند، معمولاً می توان قبولی او را در خرداد تضمین کرد، دانش آموز راحت تر با حسابان کنار می آید و بسیاری از آنها خود را برای مبارزه ای نفس گیر آماده می کنند. در اولین جلسه، این حقیر معمولاً درباره ی کنکور و اینکه بیشترین رقابت در تستهای ریاضی بر سر حسابان و دیفرانسیل دوره ی پیش دانشگاهی است، صحبت می کنم و درباره ی مطالعه ی درست حسابان و اینکه چگونه به حل مساله بپردازند، با دانش آموزان وارد بحث می شوم و صد البته آنها را از افراط و تفریط در مطالعه ی حسابان و نیز از افتادن در دام کلاسهای کنکور غیر استاندارد بر حذر می دارم.

همکاری، دلسوزی و صبر معلمین در طول سال در آموزش درست این درس مهم و تامین سلامت روانی دانش آموزان تاثیر بسیاری دارد و امیدوارم همکاران محترم این نکته کلیدی را از این کمترین قبول فرمایند که دادن امید به دانش آموزان همراه با برخوردی خوب و صمیمانه در کنار جدیت تمام در تدریس و اجبار دانش آموزان به انجام تکالیف محول شده - که این دو به ظاهر متناقض هستند - یکی از بهترین روشها برای تدریس دروس ریاضی است. تا وقتی دانش آموز ما را به عنوان الگوی رفتاری ( مرشد ) خود نپذیرد، نباید امیدوار بود که دانش آموز به سخنانمان عمل کند، هر چند اگر سخنانمان بسیار زیبا و متین باشد.

در سلسله دروس زیر مستقیماً وارد آموزش نخواهم شد. تنها به مروری کلی با ارائه یک طرح درس و ذکر نکات هر درس اکتفا خواهد شد. بیشترین سعی این حقیر تاکید بر مثالها، تمرینات، مسائل و گاهی هم تستها خواهد بود، چرا که حل مساله را دوای درد دانش آموزان می دانم. در هر درس هم مسائل حل شده و هم مسائل حل نشده ارائه خواهم کرد که دانش آموزان عزیز از آنها برای تقویت سطح علمی خود و دبیران محترم برای طرح در سر کلاس استفاده کنند. البته قسمتهای ویژه ای هم برای حل «بعضی» از مسائل کتاب حسابان و مسائل امتحانی خرداد در چند سال اخیر خواهیم داشت.

اگر این کار کوچک در پیشرفت علمی دانش آموز عزیزی مفید واقع شد، بنده را از دعای خیر خود محروم نفرماید.

موفق و موید و منصور باشید.

و عجل اللهم فی فرج مولانا صاحب الزمان.

مهدی مفیدی احمدی، 26 خرداد 1386

فهرست مطالب

حل و بحث مسائل کتاب حسابان جدید و رفع اشکال
روشهای درست مطالعه ی ریاضیات - به ویژه حسابان - چیست؟
اعداد حقیقی - قدر مطلق - بازه ها
تابع و مفاهیم مقدماتی مربوط به آن، ضابطه ی توابع حقیقی
دامنه ی یک تابع حقیقی
برد یک تابع حقیقی
تساوی دو تابع
اعمال روی توابع (جمع-تفاضل-ضرب-تقسیم و ترکیب دو تابع)
معرفی توابع ثابت و همانی
معرفی توابع زوج و فرد
چند جمله ای ها و معادلات درجه ی ۲ (رابطه ی بین ریشه های آن ها)
چند جمله ای ها و معادلات درجه ی ۳ (رابطه ی بین ریشه های آن ها)
باقی مانده ی تقسیم چند جمله ای ها بر یک چند جمله ای درجه ی یک
تابع یک به یک و تابع پوشا
تابع وارون پذیر
تابع نزولی و تابع صعودی
قدر مطلق یک عدد حقیقی و تابع قدر مطلق
جزء صحیح یک عدد حقیقی و تابع جزء صحیح
چند اتحاد مثلثاتی
حد توابع و قضایای آن
حد بی نهایت و مجانب قائم
حد در بی نهایت و مجانب افقی
حد نامتناهی در بی نهایت
پیوستگی تابع در یک نقطه و در یک بازه
مشتق تابع
قواعد محاسبه ی مشتق توابع
قاعده ی زنجیره ای (مشتق تابع مرکب)
تشخیص صعودی یا نزولی بودن تایع با استفاده از مشتق
نقاط ماکسیمم و می نیمم نسبی و مطلق تابع
خط مماس و خط قائم بر منحنی
تابع هموگرافیک
آهنگ تغییر
۴ حالت مهم مشتق ناپذیری توابع در یک نقطه و معرفی مشتق های چپ و راست - تعریف نقاط بحرانی
تقعر مثبت و منفی و نقطه ی عطف تابع و کاربرد آن ها در رسم یک منحنی
روش کلی رسم یک منحنی درجه ی ۳
تابع متناوب
معادلات مثلثاتی
رسم نمودار توابع مثلثاتی
توابع معکوس مثلثاتی و مشتق آن ها
مسائل بهینه سازی
انتگرال معین و مساحت زیر نمودار یک تابع

+ نوشته شده در شنبه بیست و ششم خرداد ۱۳۸۶ ساعت ۵:۳۴ ب.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی

دایرة المعارف ریاضی

صفحه اصلی وبلاگ (آدرس جدید http://www.ep-math.coo.ir/)

+ نوشته شده در دوشنبه شانزدهم مرداد ۱۳۸۵ ساعت ۱۰:۴۶ ب.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی

هندسه تحلیلی و جبر خطی پیش دانشگاهی

صفحه اصلی وبلاگ

تذکر مهم: بازدید کننده محترم، اگر تصاویر و فرمولهای این صفحه را نمی بینید صفحه را refresh کنید.
اگر باز هم تصاویر و فرمولهای ظاهر نشدند، لطفا این مشکل را در اینجا به بنده اطلاع دهید.
ممنون و متشکرم.

فرض کنید S مجموعه همه ماتریسهای باشد که مجموع همه سطرهای آنها برابر 1 است. ثابت کنید که S نسبت به ضرب بسته است.

منبع: کتاب المپیادهای ریاضی ایران، تالیف دکتر عبادالله محمودیان

حل مساله:

فرض کنید A و B عناصری از S باشند. مجموع درایه های سطر i-ام AB برابر است با

پس AB نیز عضوی از S است.
فرض کنید A و B دو ماتریس هم مرتبه باشند به گونه ای که AB=A+B. ثابت کنید AB=BA.

حل مساله:

مساله را با توجه به این قضیه مهم حل می کنیم که اگر C و D دو ماتریس مربعی باشند و I ماتریس همانی و داشته باشیم CD=I می توان نتیجه گرفت که DC=I.

با تشکر از آقای مرتضی بیات، دانشجوی دوره دکتری ریاضی مرکز تحصیلات تکمیلی در علوم پایه زنجان، که این مساله و حل آن، پیشنهاد ایشان بود.

۱۶/۱۰/۱۳۸۵

+ نوشته شده در دوشنبه شانزدهم مرداد ۱۳۸۵ ساعت ۷:۲ ب.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی

ریاضی گسسته پیش دانشگاهی

فرض کنید n عددی طبیعی بزرگتر یا مساوی 2 باشد. ثابت کنید که اصم است.

مهدی مفیدی احمدی

حل مساله:

به برهان خلف فرض کنید که این عدد گویا باشد. توجه کنید که این عدد یک عدد طبیعی نیست زیرا بین 2 و 3 است. در استدلال زیر می توان فرض کرد که a و b دو عدد طبیعی نسبت به هم اولند.

که یک تناقض است زیرا نتیجه می دهد که این عدد یک عدد طبیعی است.

(۲۶/۴/۱۳۸۵)
فرض کنید m و n اعداد طبیعی باشند. نامساوی زیر را ثابت کنید:

منبع: مسابقه پاتنام آمریکا-سال۲۰۰۴

حل مساله:

می توان دید

حال اگر جمله سمت راست نامساوی آخر را بوسیله بسط دو جمله ای نیوتن بسط دهید، عبارت سمت چپش، یکی از جملات آن است.
اگر که ، ثابت کنید عددی صحیح است.
منبع: کتاب المپیاد ریاضی در ایران-تالیف دکتر عبادالله محمودیان

حل مساله:

مساله را به استقراء روی n حل می کنیم. برای n=1 حکم واضح است. برای اعداد کمتر یا مساوی n حکم را می پذیریم و برای n+1 ثابت می کنیم.

بنابر فرض ، و اعداد صحیح هستند که نتیجه را ثابت می کند.

۴/۵/۱۳۸۵
به ازای عدد صحیح و مثبت n تعداد چهارتاییهای از اعداد صحیح را بیابید به طوری که .

منبع: کتاب حل مساله از طریق مساله-ترجمه علی ساوجی

حل مساله:

ایده کلیدی که موجب روشن شدن حل مساله می شود توجه به این نکته است که تناظری یک به یک بین چهارتاییهای مجموعه مورد نظر ما و زیر مجموعه های چهارتایی مجموعه وجود دارد. به ویژه فرض کنید که در آن ، با زیر مجموعه نظیر شود. به سادگی دیده می شود که این، تناظری یک به یک است. به عبارت دیگر هر عضو مجموعه مورد نظر ما، دقیقاً با یکی از زیر مجموعه های چهارتایی متناظر است و به عکس. در نتیجه عدد خواسته شده است.
ثابت کنید حاصلجمع هیچ k عدد طبیعی متوالی(k>1) را نمی توان به صورت توانی از عدد 2 نوشت.

منبع: کتاب المپیاد ریاضی در ایران-تالیف دکتر عبادالله محمودیان

حل مساله:

فرض کنید حاصلجمع k عدد طبیعی متوالی که از n شروع شده باشند به صورت توانی از عدد 2 نوشته شده باشد. می توان نوشت:

بنابر این k باید زوج باشد که در این صورت عبارت داخل پرانتز آخر، فرد خواهد شد که تناقض با طرف راست دارد زیرا طرف راست، توانی از 2 است.

۷/۵/۱۳۸۵
تعیین کنید به ازای چه مقادیری از عدد طبیعی n عبارت زیر مجذور کامل است:

منبع: کتاب المپیاد ریاضی در ایران-تالیف دکتر عبادالله محمودیان

حل مساله:

اگر برای n=1 و n=4 مجذور کامل داریم. اگر :

ولی هیچ مجذوری به پیمانه 5 همنهشت با 3 نیست. پس تنها n=1 و n=4 جواب مساله هستند.

۱۵/۵/۱۳۸۵
کوچکترین عدد طبیعی n را بیابید که اگر آخرین رقم سمت راست آنرا به سمت چپ انتقال دهیم، عدد حاصل «سه دوم» عدد n شود.

منبع: کتاب المپیاد ریاضی در ایران-تالیف دکتر عبادالله محمودیان

حل مساله:

با نمایش اعداد طبیعی در مبنای 10 و با توجه به فرض مساله می نویسیم:

فرض کنید:

(قبل از ادامه حل مساله به این دو مثال توجه کنید: 31+2*2^10=231 و 2+568*10=5682)

حال می توان نوشت:

کمترین مقدار k که در این رابطه صدق می کند عبارت است از 5 و کوچکترین مقدار n به وسیله کوچکترین مقدار k و a0 به دست می آید. حال با توجه به رابطه (1) :

۱۱/۶/۱۳۸۵
سه گروه از دانشمندان ریاضی از سه کشور مختلف در یک کنفرانس گرد آمده اند. می خواهیم جلسات سه نفری از این دانشمندان تشکیل دهیم به طوری که از هر گروه فقط یک نفر شرکت داشته باشد و هر دو نفر دقیقاً در یک جلسه با هم شرکت کرده باشند.

الف) اگر این کار امکان پذیر باشد نشان دهید تعداد افراد هر سه گروه مساویند.

ب) در حالتی که تعداد افراد هر گروه ، سه باشد نشان دهید این عمل امکان پذیر است.

حل مساله:

فرض کنید دانشمندان مجموعه های

باشند. برای هر یک از اعضای مجموعه ها نقطه ای روی صفحه متناظر می کنیم (شکل زیر برای حالت 3=m=n=p نشان داده شده است).

اگر یک دانشمند مثلا a_i با یک دانشمند مثلا b_j در یک جلسه شرکت داشته باشد یک خط بین این دو رسم می کنیم. تمام نقاط A را به هر یک از نقاط B و C و همین طور هر یک از نقاط B را به هر یک از نقاط C وصل می کنیم. منظور مساله، افراز خطوط حاصل به مثلثهایی است که سه راس آنها یکی در A ، یکی در B و یکی در C است.

الف) مثلثهای مذکور از هر قسمت {A,B}، {B,C} و {A,C} دقیقاً یک خط در بر دارد؛ پس باید تعدادخطوط بین این قسمتها با هم مساوی باشند. در نتیجه mp=mn و np=mn و لذا m=n=p.

ب) مثلثها می توانند به صورت زیر باشند:

جدول زیر بیانگر حل این حالت از مساله است(a_i و b_j با c_k که از جدول به دست می آید، یک جلسه تشکیل خواهند داد و c_k در ستون a_i و سطر b_j قرار دارد.)

(توضیح بیشتر: در حالت کلی نیز کافیست از جدولی همانند جدول بالا استفاده کنیم. ماتریسی که در داخل جدول بالا مشاهده می کنید به ماتریس دوری معروف است.)

۶/۱۰/۱۳۸۵
همه اعداد طبیعی مانند n را پیدا کنید که برای آنها اعداد طبیعی n_k ، ...، n_2 ، n_1 همگی بزرگتر از 3 وجود داشته باشند به طوریکه:

حل مساله:

فرض کنید عدد n در شرایط مساله صدق کند. می توان دید که اگر عدد n+1 توانی از عدد 2 باشد و این توان کمتر از 10 باشد، تنها توان مورد قبول بنابر شرایط مساله عبارت است از 3؛ یعنی عدد 7 یکی از اعداد مورد نظر است. حال فرض کنید m ، بزرگتر یا مساوی 10 باشد و

اگر عدد l حداقل 10 باشد آنگاه

لذا بنابر استقراء

بنابر این

حال چون همه n_i ها فرد و بزرگتر از 3 هستند، لذا

و در نتیجه

که تناقض است. بنابر این تنها عدد قابل قبول، همان 7 است.

۶/۱۰/۱۳۸۵
فرض کنید Pn،...،P1 زیر مجموعه های دو عضوی متمایز از مجموعه {a1,...,an} باشند به طوریکه اگر اشتراک Pi و Pj ناتهی باشد، آنگاه مجموعه {ai , aj} یکی از P هاست. نشان دهید که هر a دقیقاً در یک جفت از P ها ظاهر می شود.

حل مساله:

برای مشاهده حل این مساله به لینک زیر مراجعه فرمایید.

http://mahdymofidyahmedy.googlepages.com/w20.jpg

(منبع: کتاب المپیادهای ریاضی بین المللی، ترجمه محمد قاسم وحیدی اصل)

۱۴/۱۰/۱۳۸۵
فرض کنید y، x و z سه عدد فرد طبیعی باشند. حداقل با دو روش متفاوت ثابت کنید:

حل مساله:

در لینک زیر سه روش برای حل این مساله زیبا ارائه شده است:

http://mahdymofidyahmedy.googlepages.com/w19.jpg

۱۴/۱۰/۱۳۸۵
ثابت کنید در میان اعداد روبرو، عدد اولی وجود ندارد: 10001, 100010001, 1000100010001,...

حل مساله:

اگر قرار دهید x=10 دنباله ی مطرح شده، به صورت زیر در می آید:

اگر n عددی فرد باشد، مثلاً n=2m+1 ، خواهیم داشت:

که نشان می دهد این عدد اول نیست .( توجه کنید که در این حالت m=0 یا m>0).

اگر n عددی زوج باشد، مثلاً n=2m، آنگاه:

که باز نشان می دهد عدد بالا مرکب است.

۳۰/۵/۱۳۸۶
سکه ای را n بار پرتاب می کنیم. ثابت کنید که اگر n>2 ، احتمال آنکه در بین پرتابها دوبار متوالی پشت بیاید، برابر است با

که F_n جمله ی n-ام دنباله فیبوناتچی است.

حل مساله:

فرض کنید احتمال آنکه در n پرتاب، هیچگاه دو پشت متوالی ظاهر نشود، P_n باشد. لذا P_1 و P_2 به ترتیب یک و سه چهارم است. حال فرض کنید n>2. اگر اولین پرتاب رو بیاید، واضح است که احتمال تعریف شده {P_{n-1 است. اگر اولین پرتاب پشت بیاید، باید دومین پرتاب رو باشد و لذا احتمال اینکه در n-2 پرتاب بعدی دو پشت متوالی رخ ندهد برابر است با {P_{n-2 . قرار دهید:

لذا

تساوی آخر همان دنباله فیبوناتچی است که {S_n=F_{n+2. بنابر این احتمال مورد نظر برابر است با

۱۴/۹/۱۳۸۶

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و ششم تیر ۱۳۸۵ ساعت ۱:۵ ب.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی

حساب دیفرانسیل و انتگرال پیش دانشگاهی

ثابت کنید معادله دقیقاً یک ریشه حقیقی دارد و اگر x₀ این ریشه باشد آنگاه .
منبع: روشهای جبر استاد پرویز شهریاری جلد دوم

حل مساله:

فرض کنید . با توجه به مشتق، این تابع اکیداً صعودی و لذا یک به یک و پوشاست و لذا دقیقاً یک x₀ چنان موجود است که . اما به راحتی می توان دید که . حال فرض کنید g معکوس تابع f باشد. پس g نیز اکیداً صعودی است. با اثر دادن g به طرفین نامساوی بالا عبارت ثابت می شود.
حاصل عبارت A و B را به دست آورید:

مهدی مفیدی احمدی

حل مساله:

فرض کنید n عددی طبیعی و m عدد صحیح نامنفی باشد. به استقراء ثابت کنید که:

بنابر این دنباله اول نزولی و کراندار و دنباله دوم صعودی و کراندار است. بنابر این هر دو همگرا هستند. حال n را به بی نهایت میل دهید و نتیجه بگیرید .
(19/4/1385)
حد زیر را بیابید:

منبع: کتاب المپیاد ریاضی در ایران، دکتر عبادالله محمودیان

حل مساله:

توجه کنید عبارتی که حد آن خواسته شده، برابر است با

حد عبارت سمت چپ در نقطه x=1 بنابر قاعده هوپیتال، یک عدد و حد عبارت سمت راست در این نقطه صفر است زیرا سینوس تابعی کراندار می باشد. بنابر این جواب مساله عدد صفر است.

10/5/1385
فرض کنید و برای به صورت بازگشتی تعریف می کنیم:

حد روبرو را بیابید:

منبع: کتاب حل مساله از طریق مساله، ترجمه علی ساوجی

حل مساله:

زاویه منحصر به فردی چون که وجود دارد به طوری که . به ازای این داریم:

به همین ترتیب می توان ثابت کرد که . حال می توان نوشت:

با بزرگ شدن n، پرانتز اول به و پرانتز به 1 نزدیک می شود و لذا جواب حد برابر است با .

۱۳/۵/۱۳۸۵
فرض کنید f و g دو تابع با شرایط زیر باشند:

ثابت کنید f در هر نقطه مشتق پذیر است و مشتق آنرا بیابید.

منبع: کتاب المپیاد ریاضی در ایران، دکتر عبادالله محمودیان

حل مساله:

۱۳/۵/۱۳۸۵
دنباله زیر را در نظر بگیرید:

ثابت کنید:

حل مساله:

از دوست خوبم آقای حسین پوران که در اتاق ریاضیات مساله بالا را حل کردند متشکرم. برای مشاهده راه حل ایشان به لینک زیر مراجعه فرمایید.

http://mahdymofidyahmedy.googlepages.com/w24.JPG

۷/۱۰/۱۳۸۵
فرض کنید دنباله ی x_n به صورت بازگشتی با ضابطه ی زیر تعریف شود:

$LA3$

ثابت کنید این دنباله همگراست و سپس حد آنرا به دست آورید.

+ نوشته شده در جمعه نهم تیر ۱۳۸۵ ساعت ۱:۵۶ ب.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی

دعای شب امتحان (طنز)

صفحه اصلی وبلاگ

یکی از روزها که وارد کتابخانه دانشگاه شدم دعای زیر را در یکی از قفسه ها کشف کردم. حال این دعای پر معنی را -البته با کمی تغییر در جملات آن- بدون هیچ توضیحی خدمتتان تقدیم می کنم.

الدعا فی لیالیّ الامتحانیه

اللهم اهد کل الشّوت و المشنگ، لا یعلم من دروسهُ بقدر بز اخفش.

الذین لا یعلمون و لا یستطیعون ان یقرأ فی لیلة واحدة کل الکتاب المخوفة القطورة و الجزوات الزیراکسیه.

دروساً لا ینفع فی الدنیا و الاخره (و فی الموضوعات العملگیّة تغنی محل اشتغالنا).

اللهم انجنا من البلیّات الذی ینزل علینا ببرکة الاساتید و الامتحاناتهم الذی ینتزل المعدل تحت خطوط المشروطیّه.

اللهم انّا نسألک اللّغو کل الامتحانات و الکوئیز فی کل تروم (اینجا همه بگن آمین)

و لا تکلنا الی انفسنا و نمراتنا و محفوظاتنا الذی یجذبنا الی المنجلاب المشروطیة طرفة عیناً ابداً و نعوذ بک من پروجات.

آمین یا کاشف المضطربین فی اللیالی الامتحانیه

قربان ديدگانت استاد جان خدا را

جانا محبتي كن اين بنده خدا را

من مخلص تو هستم اصلا فداي كفشت

با نمره اي بخندان اين قوم بينوا را

لطفي نما تو بر ما اندك عنايتي كن

باور نما نگويم با غير اين ماجرا را

استاد جان كرم كن بر ما مگير خورده

كاين جزوه اي كه گفتي دق مرگ كرده مارا

چند اسم خارجي را با چند شكل درهم

تحويلمان تو دادي آخر چه سود ما را

هر وقت ديدمت من جسمم به لرزه افتاد

گويي كه موش بيند آن گربه ي جفا را

آن صفر را كه خرخون ام الجنايتش خواند

از ما دور گردان آن صفر بي صفا را

+ نوشته شده در سه شنبه ششم تیر ۱۳۸۵ ساعت ۹:۳۷ ب.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی

مسائل جبر و احتمال سال سوم ریاضی

فرض کنید {x_i} دنباله ای از اعداد حقیقی ناصفر باشد که رابطه زیر، بین آنها برقرار است:

شرط لازم و کافی برای x₁ و x₂ چنان بیابید که به ازای تعدادی نامتناهی از مقدارهای x_n، n عددی صحیح باشد.

منبع: کتاب حل مساله از طریق مساله - ترجمه علی ساوجی

حل مساله:

با محاسبه x₃ و x₄ و x₅می توان رابطه زیر را حدس زد که البته با استقراء ثابت می شود:

اگر x₁ و x₂ متمایز باشند، بعد از چند مرحله بالاخره اندازه مخرج از صورت بیشتر می شود و در نتیجه x_nعددیصحیح نخواهد بود. پس شرط لازم و کافی خواسته شده این است که x₁ = x₂.
فرض کنید برای همه اعداد a, b, c, d که d≥c≥b≥a≥0، نامساوی

برقرار باشد. بزرگترین مقدار ممکن K را بیابید. منبع
حل مساله:

برای a = 0, b = c = d = t > 0 نامساوی به صورت 9t²≥ Kt² در میآید و لذا K ≤ 9. حال رابطه زیر را اثبات می کنیم تا ثابت شود که  K=9.

(1)

چون d ≥ b و d ≥ c  پس می توان نوشت:

و در نتیجه

چون b + c)² ≥ 4bc)، رابطه (۱)  به دست می آید.
فرض کنید x عددی ناصفر باشد و . عبارات زیر را بر حسب a به دست آورید:

مهدی مفیدی احمدی

حل مساله:

تنها کافیست برای هر k ی طبیعی و با استقراء ثابت کنید که:

(25/4/1385)
ثابت کنید اگر ۵ نقطه در درون یا روی مربعی به ضلع ۱ واقع باشند، در میان این نقطه ها، حداقل دو نقطه وجود دارد که فاصله آنها کمتر یا مساوی است.
منبع: پانصد مساله پیکارجو - ترجمه مهران اخباریفر

حل مساله:

مربع را به چهار مربع مساوی تقسیم کنید. بنابر اصل لانه کبوتری یکی از این چهار مربع، دست کم شامل دو نقطه از این ۵ نقطه است و فاصله این دو نقطه بیشتر از قطر این مربع یعنی نیست.
۱۴/۶/۱۳۸۵
ثابت کنید از بین هفت عدد طبیعی متمایز که از ۱۲۷ کمتر هستند، می توان دو عدد یافت که در نابرابریهای صدق می کنند.
منبع: پانصد مساله پیکارجو - ترجمه مهران اخباریفر

حل مساله:

اعداد ۱ تا ۱۲۶ را به شش مجموعه طوری تقسیم کنید که در هر مجموعه بزرگترین عدد، دو برابر کوچکترین عدد آن باشد. لذا مجموعه های زیر را داریم:

{1,2}، {3،4،5،6}، {14،...،7}، {30،...،15}، {62،...،31}، {126،...،63}.

حال اصل لانه کبوتری نتیجه را به دست می دهد.

15/7/1385
فرض کنید 1=x+y+z که y، x و z اعداد حقیقی نامنفی هستند. ثابت کنید:

منبع: المپیاد بین المللی ریاضی سال 1983

حل مساله:

براي ديدن حل کامل مساله به لينك زير مراجعه كنيد:

http://mahdymofidyahmedy.googlepages.com/w15.gif

۱۵/۷/۱۳۸۵
فرض کنید:

با استفاده از نامساوی زیر

و به وسیله استقراء ثابت کنید:

حل مساله:

اگر n=1 مطلب بدیهی است. حال با استفاده از فرض استقراء و نیز نامساوی ذکر شده می توان نوشت:

۶/۱۰/۱۳۸۵
فرض کنید:

ثابت کنید:
فرض کنید:

ثابت کنید:

حل مساله:

از دوست عزیزم آقای حسین پوران که در اتاق ریاضیات مساله را به روش زیبایی حل کردند، متشکرم. بنده راه حل دیگری براساس نامساوی هندسی-حسابی در نظر داشتم؛ اما روش ایشان زیباتر و کوتاه تر است. برای دیدن راه حل ایشان به لینک زیر مراجعه کنید:

http://img2.freeimagehosting.net/image.php?1e9cb2fbdc.jpg

۷/۱۰/۱۳۸۵
مجموعه ی دلخواه 10 عضوی از اعداد طبیعی کوچکتر از 100 را در نظر بگیرید. ثابت کنید که می توان دو زیر مجموعه ی ناتهی مجزا ( یعنی با اشتراک تهی) از این مجموعه چنان یافت که مجموع اعضای یکی با مجموع اعضای دیگری برابر باشد.

حل مساله:

از mir@ که در اتاق ریاضیات مساله را حل کردند، تشکر می کنم. برای دیدن راه حل ایشان به اینجا مراجعه فرمایید.

۱۸/۵/۱۳۸۶
فرض کنید b ،a و c اعداد حقیقی نامنفی باشند که کمتر یا مساوی 1 نیز هستند. ثابت کنید:

حل مساله:

از silentcloud که در اتاق ریاضیات مساله را حل کردند، تشکر می کنم. توجه کنید که اگر c=1 ، نامساوی واضح است. حال فرض کنید عدد c مخالف 1 باشد. ادامه راه حل را در لینک زیر مطالعه فرمایید که آنرا silentcloud ارسال کرده اند:

http://mahdymofidyahmedy.googlepages.com/s5.gif

۱۵/۶/۱۳۸۶
A را مجموعه اعداد طبیعی 1 تا 1000 فرض کنید. اگر n عضوی از A باشد، ثابت کنید که لگاریتم n در پایه 10عددی گویاست اگر و فقط اگر n یکی از اعداد 1، 10، 100 و 1000 باشد.

حل مساله:

مجموعه A را به سه قسمت افراز کنید:

الف) اعداد 1، 10، 100 و 1000؛

ب) اعدادی که در تجزیه آنها فقط 2 یا 5 یا هر دو ظاهر می شود اما 10، 100 و 1000 نیستند،

ج) اعدادی که بر یک عدد اول فرد غیر از 5 بخشپذیرند.

با کمی دقت و با کمک برهان خلف می توان ثابت کرد که لگاریتم اعداد قسمت (ب) و قسمت (ج) ، گویا نیستند که با این کار، حل مساله کامل می شود.

۱۴/۹/۱۳۸۶

+ نوشته شده در سه شنبه ششم تیر ۱۳۸۵ ساعت ۶:۳۴ ب.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی

مسائل حسابان سوم ریاضی

ثابت کنید تابع زیر، ریشه حقیقی ندارد:

حل مساله:
تابع بالا را f بنامید. توجه کنید که اگر x منفی یا صفر باشد آنگاه حال فرض کنید x مثبت باشد. عبارت را محاسبه کنید و به دست آورید:

که باز نتیجه می دهد .

نکته: مشابه روش بالا می توان ثابت کرد که در حالت کلی تابع زیر، ریشه حقیقی ندارد:

می توان ثابت کرد که می نیمم مقدار تابع بالا n+1 است.
معادله زیر را بدون استفاده از مجذور کردن دو طرف آن، حل کنید:

منبع: روشهای جبر استاد پرویز شهریاری جلد دوم

حل مساله:

با کمی دقت می توان دید که برای مقادیر مثبت x، تابع سمت چپ معادله، اکیدا صعودی و تابع سمت راست اکیدا نزولی است. بنابر این معادله حد اکثر یک ریشه دارد. حال به جای x در تابع سمت چپ، عبارت را قرار دهید. با محاسبه ای مختصر به تابع سمت راست می رسیم. در نتیجه از حل معادله تنها جواب معادله به دست می آید.
فرض کنید n عددی طبیعی باشد. تابع زیر را در نظر بگیرید. مشتق این تابع را نسبت به x در نقطه x=0 به دست آورید.

حل مساله:

حل این مساله بسیار ساده است اما ایده جالبی دارد. توجه کنید که پس از مشتق گرفتن، جز جمله اول، بقیه ضریب x دارند. بنابر این می توان دید که اگر n زوج باشد، جواب !n است و اگر n فرد باشد، جواب برابر است با !n-.
فرض کنید . حال f را 1977 بار با خودش ترکیب کنید و حاصل را تابع g بنامید. را حساب کنید.

منبع: کتاب پانصد مساله پیکارجو-ترجمه مهران اخباریفر

حل مساله:

اگر f را سه بار با خودش ترکیب کنید به تابع همانی می رسید. چون 1977 بر 3 بخشپذیر است بنابر این مقدار همان 1976 است.
ثابت کنید تابعی با شرایط زیر وجود ندارد:

حل مساله:

به برهان خلف عمل می کنیم. فرض کنید چنین تابعی وجود داشته باشد. تعریف کنید:

توجه کنید که

نقاط 1- و 2 را نقاط ثابت تابع g می نامیم. اگر نقطه ای مانند x نقطه ثابت g باشد آنگاه (f(x نیز نقطه ثابت g خواهد بود. لذا با توجه به تعریف g می توان نوشت:

حال g را با خودش ترکیب کنید و به یک چندجمله ای درجه 4 به نام h برسید. این چندجمله ای را با x مساوی قرار دهید و پس از حل معادله به دست آمده، نقاط ثابت h را به دست آورید. مجموعه نقاط ثابت h را F بنامید. لذا:

همانند قبل می توان استدلال کرد که مجموعه زیر با F برابر است:

سومین عنصر F را a و چهارمین عنصر آنرا b بنامید و فرض کنید x ، عنصر a یا b باشد و (f(x را در نظر بگیرید. اگر

که تناقض است. بنابر این

به راحتی می توان دید که a و b نمی توانند نقاط ثابت f باشند لذا

که تناقض اصلی است. (توجه کنید که با توجه به ایده های به کار رفته در حل این مساله می توان مساله را تعمیم داد.)

۴/۶/۱۳۸۵
حداقل به دو روش متفاوت و کاملاً هندسی تساوی زیر را ثابت کنید:

منبع: المپیاد ریاضی در ایران جلد اول تالیف دکتر عباد الله محمودیان

حل مساله:

روش اول:

در مستطیل زیر فرض کنید 1=FG=GH=HE=AB=BC=CD. داریم:

روش دوم:

مثلث ABC را چنان رسم کنید که:

با توجه به قانون کسینوسها در مثلث می توان نوشت:

باز هم قانون کسینوسها در مثلث و رابطه ای که بین کسینوس و تانژانت موجود است نتیجه می دهد که:

که مطلب را نتیجه می دهد.

توضیحات: روش اول را از یکی از المپیادهای ریاضی دانش آموزی اقتباس کرده ام(رجوع کنید به کتاب المپیادهای ریاضی در ایران جلد اول تالیف دکتر عباد الله محمودیان). روش دوم نیز به وسیله یک دانشجوی چینی برای اینجانب ارسال شده است. به لینک زیر مراجعه فرمایید:

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=101273

در ضمن شکل هندسی بالا نیز با نرم افزار WinGCLC رسم شده است.

۱۵/۷/۱۳۸۵
فرض کنید:

ثابت کنید:

حل مساله:

برای دیدن راه حل مساله به لینک زیر مراجعه کنید:

http://mahdymofidyahmedy.googlepages.com/w28.GIF

۶/۱۰/۱۳۸۵
دستگاه معادلات مثلثاتی زیر را در نظر بگیرید:

ثابت کنید:

حل مساله:

برای مطالعه راه حل مساله به لینک زیر مراجعه فرمایید:

http://mahdymofidyahmedy.googlepages.com/w23.JPG

۷/۱۰/۱۳۸۵
تابع f با شرایط زیر را در نظر بگیرید:

ثابت کنید مقدار f در نقطه 1982 برابر است با 660 .

حل مساله:

از Iron که مساله بالا را در اتاق ریاضیات حل کردند، متشکرم. برای دیدن راه حل ایشان به لینک زیر مراجعه فرمایید:

http://mahdymofidyahmedy.googlepages.com/w21.jpg

در ضمن توجه کنید که تابعی با شرایط بالا موجود است؛ به طور مثال قرار دهید:

که [x] جزء صحیح x است.

۱۴/۱۰/۱۳۸۵
فرض کنید

اگر برای هر x حقیقی داشته باشیم:

ثابت کنید:

حل مساله:

با توجه به فرض می توان نوشت:

که حل مساله را کامل می کند. ( البته این مساله را با استقراء روی تعداد جملات تابع f نیز می توان حل کرد. برای دیدن حالت کلی تری از این مساله که با استقراء ثابت شده است به اینجا مراجعه فرمایید.)

(کتاب حل مساله از طریق مساله، ترجمه علی ساوجی)

۱۴/۱۰/۱۳۸۵
فرض کنید A مجموعه ی اعداد گویای مثبت باشد. همه ی توابعی مانند f را که در شرایط زیر صدق می کنند، بیابید:

منبع: المپیاد ریاضی در ایران جلد اول تالیف دکتر عباد الله محمودیان

حل مساله:

می توان دید برای هر n از اعداد طبیعی داریم:

حال اگر a و b دو عدد طبیعی دلخواه باشند داریم:

از طرف دیگر

حال قرار دهید:

لذا

بنابر این تابع ذکر شده در مساله، فقط می تواند تابع همانی باشد.

۱۷/۵/۱۳۸۶
حد زیر را بیابید:

نظرتان درباره مقدار حد زیر که حالت کلی تر حد بالاست، چیست؟

حل مساله:

مساله را در حالت کلی تر حل می کنیم؛ یعنی ثابت می کنیم:

با اضافه کردن چند جمله مناسب به سمت چپ و با توجه به اینکه

داریم:

که حل مساله را کامل می کند. برای حالت کلی تر، می توان همین روش را به کار برد. اما روش دیگری را که زیباتر و ساده تر است، خدمتتان تقدیم می کنم (که آن را مدیون دوست بزرگوارم آقای مرتضی بیات - دانشجوی دکتری ریاضی مرکز تحصیلات تکمیلی در علوم پایه زنجان- هستم.)

قرار دهید:

لذا

بنابر این

البته روش دیگری نیز بر اساس بسط تیلور وجود دارد که جای آن اینجا نیست، برای دیدن آن به لینک زیر مراجعه فرمایید:

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=143525

۹/۶/۱۳۸۶
ثابت کنید تنها دو تابع پیوسته در رابطه زیر صدق می کنند: تابع صفر و تابع همانی؛

حل مساله:

از abay که در اتاق ریاضیات این مساله را حل کردند، تشکر می کنم. برای دیدن راه حل ایشان به لینک زیر مراجعه فرمایید.

http://mahdymofidyahmedy.googlepages.com/0533.GIF

۷/۹/۱۳۸۶
برد تابع زیر را حساب کنید:

$f(x)=\frac{{|x|}}{{[x]}}$

که $[x]$ جزء صحیح x است.

+ نوشته شده در جمعه بیست و ششم خرداد ۱۳۸۵ ساعت ۸:۴۵ ب.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی

مسائل هندسه 1 و 2 دبیرستان

مثلث زیر را در نظر بگیرید. زوایای PBC و PCA و PAB همگی مساوی و برابر با 30 درجه اند. ثابت کنید این مثلث متساوی الاضلاع است. توجه کنید که هیچ اطلاعی درباره مکان نقطه P نداریم.

حل مساله:

به شکل زیر توجه کنید:

فرض کنید

بنابر قضیه سینوسها در مثلث داریم:

لذا می توان نوشت:

به همین ترتیب می توان ثابت کرد که:

باضرب اینها درهم خواهیم داشت:

و بنابراین

درنتیجه:

حال فرض کنید

می توان دید که اگر x>0 آنگاه لذا

که نتیجه می دهد:

بد نیست بدانیم که این مساله قابل تعمیم به چند ضلعی های محدب است. به طور مثال یک چهار ضلعی محدب را با نقطه ای در درون آن در نظر بگیرید. از این نقطه به چهار راس چهار ضلعی وصل کنید به گونه ای که همانند مساله بالا یک در میان زاویه های مساوی اما در اینجا 45 درجه ایجاد شود. در اینصورت این چهار ضلعی باید یک مربع باشد. این مطلب برای چند ضلعی های بالاتر نیز برقرار است. حالت کلی مساله را به طور ساده می توان به صورت زیر بیان کرد:
در داخل یک n-ضلعی محدب، نقطه P را در نظر بگیرید و آنرا به همه رئوس وصل کنید. یکی از n مثلث به وجود آمده و یکی از زوایای غیر هم راس با P را انتخاب کنید. این زاویه را آلفا بنامید. حال در جهت مثلثاتی حرکت کنید و همه زوایای مثلثهای دیگر را هم که از لحاظ مکانی مشابه با این زاویه هستند (به شکل زیر توجه کنید) آلفا بنامید. ثابت کنید اگر همه این زوایا با هم برابر باشند و داشته باشیم:

آنگاه این n-ضلعی، منتظم است.

البته حل این مساله چندان آسان نیست. اگر به راه حل خوبی از این مساله کلی تر دسترسی پیدا کردید، خوانندگان را بی نصیب نگذارید. متشکریم.
برای i=1,2 فرض کنید T_i مثلثی با اضلاع به طولهای b_i , a_i و c_i و مساحت A_i باشد. فرض کنید که و T₂ مثلثی با زوایای حاده باشد. آیا می توان نتیجه گرفت که ؟

منبع: مسابقه پاتنام آمریکا سال 2004

حل مساله:

بله. برای i=1,2 فرض کنید ، و به ترتیب زوایای روبه رو به اضلاع b_i , a_i و c_iباشند. چون ، بنابر این حداقل یکی از نامساویهای زیر برقرار است:

بدون از دست دادن کلیت می توان فرض کرد که . اما و اینکه sinx در صعودی است. لذا .
فرض کنید:

ثابت کنید:

منبع: المپیاد ریاضی مجارستان سال 1897

حل مساله:

فرض کنیم R شعاع دایره محیطی و r شعاع دایره محاطی مثلثی باشد که زوایای آن آلفا، بتا و گاما هستند. بنابر یک قضیه معروف داریم:

چون r از R کوچکتر است نامساوی مورد نظر ثابت می شود.
در مثلث دلخواه زیر، M وسط BC و I وسط AM است. BI را ادامه دهید تا AC را در D قطع کند. ثابت کنید مساحت مثلث ABC ، دوازده برابر مساحت مثلث AID است.

منبع: المپیاد ریاضی در ایران، تالیف دکتر عبادلله محمودیان

حل مساله:

به شکل زیر توجه کنید. چون میانه، مثلث را به دو قسمت هم مساحت تقسیم می کند بنابر این مساحت مثلث ABC چهار برابر AIC است. چون دو مثلث AIC و َAID دارای ارتفاع مشترک CH هستند کافیست ثابت کنیم AC سه برابر AD است. از I خطی موازی BC رسم می کنیم تا AC را در 'I قطع کند. چون I وسط AM است پس MC دو برابر I'I و لذا BC چهار برابر I'I است. از تشابه دو مثلث DI'I و DBC داریم:

از D خطی موازی AM رسم می کنیم تا BC را در "D قطع کند. از تشابه دو مثلث AMC و D"DC داریم:

اما دو مثلث BD"D و BIM نیز متشابهند، لذا
مستطیلی را مطابق شکل زیر تقسیم کرده ایم که اندازه بعضی از قسمتها در شکل نشان داده شده است. اگر قطعه های مستطیل را طوری مرتب کنیم که مربعی تشکیل دهند، محیط این مربع چه خواهد بود؟

منبع: پانصد مساله ریاضی پیکار جو-ترجمه مهران اخباریفر

حل مساله:

طول ضلعهای مستطیل ۹ و ۱۶ است. بنابر این مساحت مربع باید ۱۴۴ باشد. پس طول ضلع مربع ۱۲ و محیط آن ۴۸ است.
به شکل زیر توجه کنید. فرض کنید ABC مثلثی دلخواه با سه زاویه حاده باشد. سه ارتفاع AD و BE و CF را امتداد دهید تا دایره محیطی را به ترتیب در سه نقطه P و Q و R قطع کنند.اگر h طول بزرگترین ارتفاع و s طول کوچکترین پاره خط از بین پاره خطهای AP و BQ و CR باشد ثابت کنید عدد 4h-۳s نامنفی است.

حل مساله:

می دانیم که قرینه نقطه H نسبت به هر یک از اضلاع روی دایره محیطی است. حال با توجه به خواص مقدماتی مثلث و نیز نامساوی هندسی - حسابی می توان نوشت:

۷/۱۰/۱۳۸۵
یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع صحیح در نظر بگیرید. رئوس آن را به مرکز ثقل مثلث وصل کنید تا سه مثلث کوچکتر به دست آید. ثابت کنید مساحتهای این سه مثلث، اعداد صحیح زوج هستند.

حل مساله:

به شکل زیر توجه فرمایید:

با استفاده از خاصیت نقطه همرسی میانه ها می توان ثا بت کرد که z=y=x که y، x و z مساحتهای سه مثلث داخلی است و اینکه x ، یک سوم مساحت مثلث ABC است. حال با فرض اینکه زاویه C قائمه است و با توجه به سه تاییهای فیثاغورثی می توان رابطه های (1) و (2) را نوشت که m، n و k اعداد صحیح مثبت هستند.

حال با کمی دقت می توان ثابت کرد که صورت آخرین کسر در فرمول (2) بر 2 و 3 بخشپذیر است که حل مساله را کامل می کند.

برای دیدن راه حلی دیگر به اینجا مراجعه فرمایید.

این مساله در المپیاد داخلی سال 1986 اسپانیا مطرح شده بود.

۱۴/۱۰/۱۳۸۵
خط d و نقاط A و B را که در یک طرف این خط قرار دارند، در نظر بگیرید. نقطه P روی این خط را به گونه ای بیابید که PA+PB کوتاهترین مقدار ممکن باشد. (ادعای خود را ثابت کنید.)

حل مساله:

پاره خط BC را بصورتی رسم می کنیم که که خط d عمود منصف آن باشد. پس همواره PC=PB.
بنابر این PC+AP=PB+AP.چون کوتاهترین فاصله بین دو نقطه، اندازه ی پاره خطی است که آن دو را به یکدیگر وصل می کند، بنابراین PC+AP=PB+AP کمترین مقدار خود را دارد.

۲/۶/۱۳۸۶
در مثلث ABC زاویه B دو برابر زاویه C است. ثابت کنید که:

حل مساله:

از abay که در اتاق ریاضیات به حل مساله پرداختند، تشکر می کنم. برای دیدن راه حل ایشان به لینک زیر مراجعه فرمایید:

http://mahdymofidyahmedy.googlepages.com/s4.gif

بنده راه حل دیگری را خدمتتان تقدیم می کنم:

نیمساز زاویه B را رسم کنید تا AC را در نقطه D قطع کند. دو مثلث ABD و ABC مشابهند؛ لذا:

این مساله در مسابقه طراحی سوالات خلاق برای معلمین استان فارس مطرح شده بود.

۱۴/۹/۱۳۸۶

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و سوم خرداد ۱۳۸۵ ساعت ۱۰:۲۶ ب.ظ توسط مهدی مفیدی احمدی

مسائل ریاضی 1 و 2 دبیرستان

صفخه اصلی وبلاگ

تذکر مهم: بازدید کننده محترم، اگر تصاویر و فرمولهای این صفحه را نمی بینید صفحه را refresh کنید.
اگر باز هم تصاویر و فرمولهای ظاهر نشدند، لطفا این مشکل را در اینجا به بنده اطلاع دهید.
ممنون و متشکرم.

مقدار کسینوس 36 درجه را حساب کنید (تمام جزئیات روش خود را توضیح دهید).

حل مساله:

برای سادگی فرض کنید (x=cos(36. بنابراین x مثبت است. حال می توان نوشت:

۱۴/۶/۱۳۸۶
بنابر مساله ی قبل . ثابت کنید:

حل مساله:

قرار دهید ثابت می کنیم:

داریم:

حال اگر به جای آلفا، 18 قرار دهید، x به دست آمده ، مساله حل می شود.
فرض کنید . در این صورت مقدار را به دست آورید.

حل مساله:

از اتحاد زیر استفاده می کنیم:

اگر طرفین را به توان 2 برسانیم خواهیم داشت:

حال اگر a=sinx و b=cosx با جایگذاری در اتحاد بالا به جواب زیر می رسیم:
همه مقادیر ممکن برای عدد طبیعی b را پیدا کنید به طوری که کسر مساوی یک عدد صحیح باشد.

منبع: کتاب ریاضی 1 استعدادهای درخشان آموزش و پرورش

حل مساله:

اگر کسر بالا را مساوی عدد طبیعی k فرض کنید، خواهیم داشت . حال با توجه به اینکه k نمی تواند مساوی 1 باشد، طرف سمت چپ، منفی است و لذا k برابر است با 2 یا 3. با بررسی مختصر می توان دید که باید b=2.
ثابت کنید کسر برای همه مقادیر صحیح یک کسر ساده نشدنی است، یعنی برزگترین مقسوم علیه مشترک صورت و مخرج، ۱ است.

منبع: کتاب ریاضی 1 استعدادهای درخشان آموزش و پرورش

حل مساله:

فرض کنید صورت و مخرج مضرب یک عدد طبیعی مانند n باشند. لذا برای یک k از اعداد صحیح باید b+kn+1 نیز مضربی از n باشد. در نتیجه b+1 نیز مضربی از n است. چون b+2 مضربی از n است، لذا باید 1 نیز مضربی از n باشد. پس n=1.
اتحادهای زیر را در نظر بگیرید و به وسیله آنها سه مساله زیر را حل کنید (معمولا به اولین اتحاد، اتحاد اویلر می گویند):



(الف) ثابت کنید شرط لازم و کافی برای آنکه آن است که یا .

(ب) عبارت را به عوامل ضرب تجزیه کنید.

(ج) اگر a و b و c سه عدد مثبت باشند و ، مقدار عبارت زیر را به دست آورید:

منبع: کتاب ریاضی 1 استعدادهای درخشان آموزش و پرورش
        مسابقات ریاضی کشوری- فروردین 1365

حل مساله:

(الف) با توجه به اتحاد اول، اگر آنگاه سمت چپ اتحاد اول، صفر خواهد شد و در نتیجه در سمت راست یا پرانتز اول صفر است یا پرانتز دوم. حال با توجه به اتحاد دوم، مساله الف حل می شود.

(ب)  توجه کنید که مجموع عبارات داخل پرانتز ها صفر است. حال از مساله الف و نیز اتحاد مزدوج استفاده کنید تا به عبارت زیر که جواب مساله است، برسید:

(ج) با توجه به اتحاد دوم نتیجه می شود . بنابراین جواب مساله است.
n نقطه روی یک دایره انتخاب و وترهای بین هر جفت از این نقطه ها رسم شده اند. با فرض اینکه هیچ سه وتری (مگر در نقطه های انتهایی) همرس نباشند، چند نقطه تقاطع وجود دارد؟

منبع: کتاب حل مساله از طریق مساله-ترجمه علی ساوجی

حل مساله:

در شکل زیر حالت مربوط به n=5 رسم شده است. توجه کنید که هر نقطه تقاطع (داخلی) چهار نقطه را مشخص می کند و خود به وسیله چهار نقطه واقع بر دایره مشخص می شود (این چهار نقطه به شکل منحصر به فردی دو وتر را مشخص می کنند که در داخل دایره یکدیگر را قطع می کنند). پس تعداد نقطه های تقاطع است.
می توان عدد ۵ را با در نظر گرفتن ترتیب عاملهای جمع، به ۶ طریق به صورت مجموعی از ۳ عدد طبیعی نوشت:

فرض کنید m و n اعداد طبیعی باشند که . با در نظر گرفتن ترتیب عاملهای جمع، به چند طریق می توان عدد n را به شکل مجموعی از m عدد طبیعی نوشت؟

منبع: کتاب حل مساله از طریق مساله-ترجمه علی ساوجی

حل مساله:

n را به شکل مجموعی از n تا 1 می نویسیم. عددی که به دنبالش هستیم مساوی است با تعداد انتخابهای m-1 علامت از میان n-1 علامت جمع؛ یعنی .
طول ضلعهای مثلثی قائم الزاویه، سه جمله متوالی تصاعد حسابی هستند. ثابت کنید که نسبت طول ضلعهای این مثلث ۳:۴:۵ است.

منبع: کتاب پانصد مساله ریاضی پیکارجو - ترجمه مهران اخباریفر

حل مساله:

سه طول مورد نظر به شکل a-d ، a و a+d هستند و لذا . پس . بنابر این طول ضلعهای مثلث 4d، 3d و 5d است.
نشان دهید که به ازای هر عدد صحیح n، یک عدد اول نیست.

منبع: کتاب حل مساله از طریق مساله-ترجمه علی ساوجی

حل مساله:

می توان نوشت:

از طرف دیگر با حل معادلات ساده درجه 2 می توان نشان داد که

بنابر این، همواره مرکب است و عدد اولی نیست.

6/6/1385
مقدار عبارت زیر را - بدون استفاده از ماشین حساب - به دست آورید:

حل مساله:

برای دیدن حل این مساله به لینک زیر مراجعه فرمایید:

http://mahdymofidyahmedy.googlepages.com/w16.gif

این مساله در المپیاد ریاضی کشور در سال 1367 مطرح شده بود. (کتاب المپیاد ریاضی در ایران - تالیف دکتر عبادالله محمودیان)

۱۴/۱۰/۱۳۸۵
معادله ی زیر را حل کنید:

$La1$